Розв’язання невироджених лінійних систем

Нехай дана система п лінійних рівнянь з п невідомими:

(4.3)

або в матричній формі .

Основна матриця А такої системи квадратна. Визначник цієї матриці

називається визначником системи (4.3).

Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система називається невиродженою, в протилежному випадку – виродженою.

Знайдемо розв’язок даної системи рівнянь у випадку, коли . В цьому випадку для матриці А існує обернена матриця .

Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо . Оскільки і , то

. (4.4)

Знаходження розв’язку системи за формулою (4.4) називають матричним способом розв’язку системи.

Матричну рівність (4.4) запишемо у вигляді

,

тобто

.

Звідси випливає, що

;

;

………………………………..

.

Сума є розкладом визначника

за елементами першого стовпчика. Визначник отримується з визначника шляхом заміни першого стовпчика стовпчиком вільних членів.

Таким чином, .

Аналогічно: , де – отриманий з шляхом заміни другого стовпчика коефіцієнтів стовпчиком вільних членів; ,…, .

Формули

, (4.5)

називаються формулами Крамера.

Таким чином, невироджена система п лінійних рівнянь з п невідомими має єдиний розв’язок, який може бути знайденим матричним способом (4.4) або за формулами Крамера (4.5).

Приклад 4.1. Розв’язати систему рівнянь

а) матричним способом; б) за формулами Крамера.

Розв’язок. а) Матриця системи має вигляд:

.

Знайдемо

Отже, система невироджена.

Обернена матриця

.

Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

Тоді

.

За формулою (4.4)

Перевірка:

Відповідь:

б) За формулами (4.5) ; ; .

Знайдемо

;

Таким чином, ; ;

Відповідь: t