Екстремум функції

Точка з області визначення функції називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий - окіл точки , що для всіх з цього околу виконується нерівність .

Точка з області визначення функції називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий - окіл точки , що для всіх з цього околу виконується нерівність .

Точки мінімуму і максимуму функції називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в цих точках – мінімумом і максимумом (або екстремумами) функції.

Точками екстремуму можуть бути тільки критичні точки функції. Якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак, то функція має в точці екстремум: мінімум тоді, коли похідна змінює знак з мінуса на плюс, і максимум, - коли з плюса на мінус. Якщо ж при переході через критичну точку похідна не змінює знака, то функція в точці не має екстремуму.

Правило знаходження екстремумів функції

1. Знайти область визначення функції;

2. Знайти похідну функції ;

3. Знайти критичні точки функції;

4. Нанести критичні точки на область визначення функції;

5. Визначити знак похідної на кожному з отриманих проміжків;

6. Визначити наявність та характер точок екстремуму;

7. Обчислити значення функції в точках екстремуму.

129. Дослідіть на екстремум такі функції:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

130. Дослідіть функції на монотонність та екстремум:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) .

131. З’ясуйте, при яких значеннях параметра функція :

1) не має критичних точок;

2) не має екстремумів.

до змісту