Завдання 14

В задачах варіантів 1 - 25 знайти частинні похідні та повний диференціал функції z = z (x, y).

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6.

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. .

Завдання 15. В задачах варіантів 1-25 обчислити за допомогою повного диференціала наближене значення заданої величини.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. .

Завдання 16. В задачах варіантів 1-25 задану функцію дослідити на екстремум.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. .

Розв’язання типового варіанта.

1. Знайти частинні похідні та повний диференціал функції

z = arctg .

► Частинна похідна функції z = z (x, y) по x визначається за правилами диференціювання функції однієї змінної, причому інші змінні вважаються постійними; аналогічно визначається частинна похідна по у, де всі змінні, крім у, вважаються постійними.

Отже,

Повний диференціал даної функції визначається за формулою

.

Отже, маємо:

.◄

2. За допомогою повного диференціала обчислити наближено .

► Розглянемо функцію і застосуємо формулу

,

Поклавши , , ; .

Врахуємо, що ; ;

; ; .

Отже, . ◄

3. Дослідити на екстремум функцію .

► Знаходимо частинні похідні першого порядку функції

; .

Для визначення стаціонарних точок згідно з необхідними умовами екстремуму, прирівнюємо до нуля ці похідні. Маємо таку систему рівнянь:

розв’язок якої , .

Отже, дана функція має тільки одну стаціонарну точку .

Для перевірки достатніх умов екстремуму знаходимо частинні похідні другого порядку

; ; .

Як видно, частинні похідні другого порядку мають постійні значення в будь-якій точці, зокрема в точці .

Обчислимо для точки , де ; ; .

.

Тому що та , то в точці задана функція має максимум.

.◄