Розв’язання типового варіанта. 1.Знайти похідні функцій:

1.Знайти похідні функцій:

а) y =ln ; б) y = ; в) y =(tg2 x)^{ln x} ;

г) ; д) .

► а) y =ln .

Користуючись властивостями логарифмів, перетворимо праву частину:

y =ln = .

Застосовуючи правила диференціювання, маємо:

y '= .

б) y = .

Прологарифмуємо дану функцію, застосовуючи властивості логарифмів:

ln y = .

Продиференціюємо по х обидві частини отриманої рівності, вважаючи складеною функцією від змінної х.

(ln y)′ = .

Або

;

;

.

в) y =(tg2 x)^{ln х} .

Прологарифмуємо функцію:

ln y =ln x ×lntg2 x.

Знайдемо похідну від лівої і правої частини останньої рівності по х.

(ln y)′=(ln x)′×lntg2 x +ln x (lntg2 x)′.

Звідки

.

Далі

y ′= y ).

Остаточно маємо:

y ′=(tg2 x)^lnx ).

г) .

У даному випадку залежність між аргументом х та функцією у задана рівнянням, яке не розв’язане відносно функції у. Щоб знайти похідну , необхідно продиференціювати по х обидві частини заданого рівняння, вважаючи при цьому змінну у функцією від х, і потім отримане рівняння розв’язати відносно шуканої похідної .

Маємо: .

З отриманої рівності, що зв’язує х, у та , знаходимо похідну :

,

,

Звідки

.

д)

Залежність між змінними х та у задано параметричними рівняннями. Щоб знайти шукану похідну , знаходимо попередні диференціали і і потім знаходимо відношення цих диференціалів

,

,

. ◄

2. За допомогою диференціала обчислити наближене значення .

► Розглянемо функцію . Покладемо , і застосуємо формулу

.

У нашому випадку .

Отже, маємо

. ◄

3. Дослідити функцію y = x ⁴ - 8 x ² + 16 методами диференційного числення та побудувати її графік.

►Дослідження функції та побудову графіка можна здійснити за наступною схемою:

1) знайти область визначення функції;

2) дослідити функцію на парність або непарність;

3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;

4) дослідити функцію на неперервність, знайти точки роз-риву;

5) знайти асимптоти графіка функції;

6) знайти інтервали монотонності та точки екстремуму;

7) знайти інтервали опуклості, угнутості та точки перегину;

8) побудувати графік функції, користуючись результатами дослідження.

1.Дана функція є многочленом, тому вона визначена (існує) та неперервна на всій дійсній вісі.

2. Дана функція є парною, тому що

у (- x) = (- x)⁴ - 8(- x)² + 16 = x ⁴ - 8 x + 16 = у (x).

Отже, графік цієї функції є симетричним відносно осі ординат.

3. Точки перетину графіка функції з віссю ОY визначаємо підстановкою у функцію значення х = 0, що дає (0;16); точки перети-ну графіка з віссю ОX знаходимо, прийнявши у =0, з рівняння x ⁴-8 x ²+16=0, корені якого x _1,2 =-2 та x _3,4 =2 є абсцисами точок (-2;0) та (2, 0). Але в цих точках графік не перетинає, а лише торкається осі ОX, тому що кожне з чисел –2 і 2 є подвійним коренем даної функції, в чому легко переконатись, записавши її у вигляді: y = (x +2)² (x -2)².

4. Фукція є непервною.

5. Графік функції вертикальних та похилих асимптот не має.

6. Знайдемо інтервали монотонності функції та точки екстремуму. Перша похідна:

y ′ = 4 x ³-16 x = 4 x (x ²-4) = 4 x (x -2)(x +2)

дорівнює нулю при x ₁ = -2; x ₂ = 0; x ₃ = 2.

Розіб’ємо всю числову вісь на чотири інтервали:

.

Склавши таблицю, визначимо знак похідної на кожному з цих інтервалів та характер поведінки функції.

x		-2	-2,0)		(0,2)		(2, )
y′	-		+		-		+
y	спадає	min	зростає	max	спадає	min	зростає

Отже, при x = -2 та x = 2 функція має мінімум, а при x = 0 – максимум, причому

у (-2) = у (2) = 0; у (0) = 16.

5. Знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину графіка функції. Друга похідна

y ′′=(4 x ³-16 x)′=12 x ²-16=12 .

Вона має два корені, які поділяють числову вісь на проміжки:

Складемо таблицю, визначивши знак другої похідної на кожному з цих проміжків, знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину.

x
y ′′	+		-		+
y	угнута	перегин	опукла	перегин	угнута

Отже, при та при маємо точки перегину, причому

у (; у .

На основі отриманих даних будуємо графік функції y (рис. 4).

Рис. 4 ◄

4. Дослідити функцію методами диференційного числення та побудувати її графік.

►1. Задана функція існує при всіх значеннях аргументу, крім х =0. Область визначення складається з двох інтервалів (-¥, 0) та (0, ¥).

2. Функція не є парною або непарною.

3. З віссю О У графік функції не перетинається. Точки перетину графіка функції з віссю О Х:

; х = 1.

Відзначимо, що y ³ 0 для всіх значень x.

4. Функція має нескінченний розрив при х = 0, причому

; .

При всіх інших значеннях аргументу дана функція неперервна.

5. Оскільки х =0 – точка розриву (), то х =0 – рівняння вертикальної асимптоти. Для визначення рівняння похилої асимптоти y = kx + b скористуємося відомими формулами

i .

Маємо

=0; =1.

Отже, пряма y=1 є горизонтальною асимптотою графіка функції.

6. Знайдемо інтервали монотонності та точки екстремуму функції.

Перша похідна

y ′= .

Неважко бачити, що перша похідна дорівнює нулю при х =1 і обертається в нескінченність при х =0. Але при х =0 функція невизначена, отже ця точка не підлягає дослідженню. Розіб’ємо всю числову вісь на три інтервали: . Склавши таблицю, визначимо знак похідної на кожному з цих інтервалів та точки екстремуму.

x	(-¥, 0)		(0,1)
y′	+	не існує	-		+
y	зростає	не існує	спадає	min	зростає

Отже, при x = 1 функція має мінімум, y _min= 0.

7. Знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину графіка функції. Друга похідна

y ′′= .

З одержаного виразу видно, що друга похідна дорівнює нулю при x = і обертається в нескінченність при x =0. Оскільки при x =0 функція не існує, то ця точка не підлягає дослідженню. Розіб’ємо область існування функції на інтервали: ; (0, ); (, ).

Склавши таблицю, визначимо знак другої похідної на кожному з цих інтервалів та точки перегину.

x	(-¥, 0)		(0, )		(, )
y ′′	+	не існує	+		-
y	угнута	не існує	угнута	перегин	опукла

Отже, при x = маємо точку перегину:

y ()=(1- )²= .

Таким чином, P(, ) - точка перегину.

8. На основі отриманих даних будуємо графік функції (Рис. 5).

(Рис. 5) ◄

5. Дослідити функцію методами диференціального числення та побудувати її графік.

► 1) Область визначення функції , тому що квадратний тричлен, що знаходиться під знаком логарифма завжди приймає додатні значення, тобто:

.

2) Функція не є парною або непарною, тому що

.

3) Точки перетину графіка функції з осями координат: ; .

4) Функція є неперервною.

5) Вертикальних асимптот графік функції не має. Рівняння похилих асимптот шукаємо у вигляді , де

_.

Відмітимо, що при знаходженні границі двічі було застосовано правило Лопіталя.

.

Отже, графік функції асимптот не має.

6) Визначимо інтервали монотонності та точки екстремуму. Знаходимо першу похідну

.

Для знаходження критичних точок першого роду розв’яжемо рівняння , тобто , , звідки - критична точка першого роду.

Критична точка поділяє область визначення функції на два інтервали і . Очевидно, що

при функція спадає;

при функція зростає;

при функція має екстремум (мінімум); .

7) Визначимо інтервали опуклості, угнутості, точки перетину.

.

Для знаходження критичних точок другого роду розв’яжемо рівняння , тобто , , звідки , - критичні точки другого роду, які поділяють область визначення функції на інтервалі, що вказані у наведеній нижче таблиці.

х			(2; 4)		(4; ¥)
Знак	-		+		-
Поведінка графіка функції	опуклий	перегин	угнутий	перегин	опуклий

Отже, графік функції має дві точки перегину , .

На основі дослідження поступово будуємо графік функції , який наведено на рисунку