Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1.Знайти похідні функцій:
а) y =ln ; б) y = ; в) y =(tg2 x)ln x ;
г) ; д) .
► а) y =ln .
Користуючись властивостями логарифмів, перетворимо праву частину:
y =ln = .
Застосовуючи правила диференціювання, маємо:
y '= .
б) y = .
Прологарифмуємо дану функцію, застосовуючи властивості логарифмів:
ln y = .
Продиференціюємо по х обидві частини отриманої рівності, вважаючи складеною функцією від змінної х.
(ln y)′ = .
Або
;
;
.
в) y =(tg2 x)ln х .
Прологарифмуємо функцію:
ln y =ln x ×lntg2 x.
Знайдемо похідну від лівої і правої частини останньої рівності по х.
(ln y)′=(ln x)′×lntg2 x +ln x (lntg2 x)′.
Звідки
.
Далі
y ′= y ).
Остаточно маємо:
y ′=(tg2 x)lnx ).
г) .
У даному випадку залежність між аргументом х та функцією у задана рівнянням, яке не розв’язане відносно функції у. Щоб знайти похідну , необхідно продиференціювати по х обидві частини заданого рівняння, вважаючи при цьому змінну у функцією від х, і потім отримане рівняння розв’язати відносно шуканої похідної .
Маємо: .
З отриманої рівності, що зв’язує х, у та , знаходимо похідну :
,
,
Звідки
.
д)
Залежність між змінними х та у задано параметричними рівняннями. Щоб знайти шукану похідну , знаходимо попередні диференціали і і потім знаходимо відношення цих диференціалів
,
,
. ◄
2. За допомогою диференціала обчислити наближене значення .
► Розглянемо функцію . Покладемо , і застосуємо формулу
.
У нашому випадку .
Отже, маємо
. ◄
3. Дослідити функцію y = x 4 - 8 x 2 + 16 методами диференційного числення та побудувати її графік.
►Дослідження функції та побудову графіка можна здійснити за наступною схемою:
1) знайти область визначення функції;
2) дослідити функцію на парність або непарність;
3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;
4) дослідити функцію на неперервність, знайти точки роз-риву;
5) знайти асимптоти графіка функції;
6) знайти інтервали монотонності та точки екстремуму;
7) знайти інтервали опуклості, угнутості та точки перегину;
8) побудувати графік функції, користуючись результатами дослідження.
1.Дана функція є многочленом, тому вона визначена (існує) та неперервна на всій дійсній вісі.
2. Дана функція є парною, тому що
у (- x) = (- x)4 - 8(- x)2 + 16 = x 4 - 8 x + 16 = у (x).
Отже, графік цієї функції є симетричним відносно осі ординат.
3. Точки перетину графіка функції з віссю ОY визначаємо підстановкою у функцію значення х = 0, що дає (0;16); точки перети-ну графіка з віссю ОX знаходимо, прийнявши у =0, з рівняння x 4-8 x 2+16=0, корені якого x 1,2 =-2 та x 3,4 =2 є абсцисами точок (-2;0) та (2, 0). Але в цих точках графік не перетинає, а лише торкається осі ОX, тому що кожне з чисел –2 і 2 є подвійним коренем даної функції, в чому легко переконатись, записавши її у вигляді: y = (x +2)2 (x -2)2.
4. Фукція є непервною.
5. Графік функції вертикальних та похилих асимптот не має.
6. Знайдемо інтервали монотонності функції та точки екстремуму. Перша похідна:
y ′ = 4 x 3-16 x = 4 x (x 2-4) = 4 x (x -2)(x +2)
дорівнює нулю при x 1 = -2; x 2 = 0; x 3 = 2.
Розіб’ємо всю числову вісь на чотири інтервали:
.
Склавши таблицю, визначимо знак похідної на кожному з цих інтервалів та характер поведінки функції.
x | -2 | -2,0) | (0,2) | (2, ) | |||
y′ | - | + | - | + | |||
y | спадає | min | зростає | max | спадає | min | зростає |
Отже, при x = -2 та x = 2 функція має мінімум, а при x = 0 – максимум, причому
у (-2) = у (2) = 0; у (0) = 16.
5. Знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину графіка функції. Друга похідна
y ′′=(4 x 3-16 x)′=12 x 2-16=12 .
Вона має два корені, які поділяють числову вісь на проміжки:
Складемо таблицю, визначивши знак другої похідної на кожному з цих проміжків, знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину.
x | |||||
y ′′ | + | - | + | ||
y | угнута | перегин | опукла | перегин | угнута |
Отже, при та при маємо точки перегину, причому
у (; у .
На основі отриманих даних будуємо графік функції y (рис. 4).
Рис. 4 ◄
4. Дослідити функцію методами диференційного числення та побудувати її графік.
►1. Задана функція існує при всіх значеннях аргументу, крім х =0. Область визначення складається з двох інтервалів (-¥, 0) та (0, ¥).
2. Функція не є парною або непарною.
3. З віссю О У графік функції не перетинається. Точки перетину графіка функції з віссю О Х:
; х = 1.
Відзначимо, що y ³ 0 для всіх значень x.
4. Функція має нескінченний розрив при х = 0, причому
; .
При всіх інших значеннях аргументу дана функція неперервна.
5. Оскільки х =0 – точка розриву (), то х =0 – рівняння вертикальної асимптоти. Для визначення рівняння похилої асимптоти y = kx + b скористуємося відомими формулами
i .
Маємо
=0; =1.
Отже, пряма y=1 є горизонтальною асимптотою графіка функції.
6. Знайдемо інтервали монотонності та точки екстремуму функції.
Перша похідна
y ′= .
Неважко бачити, що перша похідна дорівнює нулю при х =1 і обертається в нескінченність при х =0. Але при х =0 функція невизначена, отже ця точка не підлягає дослідженню. Розіб’ємо всю числову вісь на три інтервали: . Склавши таблицю, визначимо знак похідної на кожному з цих інтервалів та точки екстремуму.
x | (-¥, 0) | (0,1) | |||
y′ | + | не існує | - | + | |
y | зростає | не існує | спадає | min | зростає |
Отже, при x = 1 функція має мінімум, y min= 0.
7. Знайдемо інтервали опуклості, угнутості та точки перегину графіка функції. Друга похідна
y ′′= .
З одержаного виразу видно, що друга похідна дорівнює нулю при x = і обертається в нескінченність при x =0. Оскільки при x =0 функція не існує, то ця точка не підлягає дослідженню. Розіб’ємо область існування функції на інтервали: ; (0, ); (, ).
Склавши таблицю, визначимо знак другої похідної на кожному з цих інтервалів та точки перегину.
x | (-¥, 0) | (0, ) | (, ) | ||
y ′′ | + | не існує | + | - | |
y | угнута | не існує | угнута | перегин | опукла |
Отже, при x = маємо точку перегину:
y ()=(1- )2= .
Таким чином, P(, ) - точка перегину.
8. На основі отриманих даних будуємо графік функції (Рис. 5).
(Рис. 5) ◄
5. Дослідити функцію методами диференціального числення та побудувати її графік.
► 1) Область визначення функції , тому що квадратний тричлен, що знаходиться під знаком логарифма завжди приймає додатні значення, тобто:
.
2) Функція не є парною або непарною, тому що
.
3) Точки перетину графіка функції з осями координат: ; .
4) Функція є неперервною.
5) Вертикальних асимптот графік функції не має. Рівняння похилих асимптот шукаємо у вигляді , де
.
Відмітимо, що при знаходженні границі двічі було застосовано правило Лопіталя.
.
Отже, графік функції асимптот не має.
6) Визначимо інтервали монотонності та точки екстремуму. Знаходимо першу похідну
.
Для знаходження критичних точок першого роду розв’яжемо рівняння , тобто , , звідки - критична точка першого роду.
Критична точка поділяє область визначення функції на два інтервали і . Очевидно, що
при функція спадає;
при функція зростає;
при функція має екстремум (мінімум); .
7) Визначимо інтервали опуклості, угнутості, точки перетину.
.
Для знаходження критичних точок другого роду розв’яжемо рівняння , тобто , , звідки , - критичні точки другого роду, які поділяють область визначення функції на інтервалі, що вказані у наведеній нижче таблиці.
х | (2; 4) | (4; ¥) | |||
Знак | - | + | - | ||
Поведінка графіка функції | опуклий | перегин | угнутий | перегин | опуклий |
Отже, графік функції має дві точки перегину , .
На основі дослідження поступово будуємо графік функції , який наведено на рисунку
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 4770 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!