Приклад розв’язання ЗОВК

Нехай фірма має n=3 дочірніх підприємств, на модернізацію цих трьох підприємств виділено = 6 млн. одиниць вартості. Підприємства 1 і 3 подали на розгляд по чотири проекти модернізації (A, B, C і D), а підприємство 2 представило три проекти (A, B і C). Проекти A відповідають рішенню не проводити модернізацію підприємств. У табл. 4 наведені відповідні величини і .

Таблиця 4

Проект	Підприємство 1	Підприємство 2	Підприємство 3
A (0)
B (1)
C (2)
D (3)			–	–

Планування кроку 1.

Вважається, що на цьому етапі приймається рішення про модернізацію першого підприємства. Для цього можуть бути використані кошти в кількості від 0 до 6 (оскільки в нашому випадку = 6 млн. одиниць вартості).

Спочатку відзначимо, що величина може бути інтерпретована, як кошти, спрямовані на модернізацію нульового (не існуючого підприємства), тобто спрямовані “у нікуди”. За визначенням – ефект від капіталовкладень у неіснуюче підприємство 0 дорівнює нулю.

Нехай – для модернізації підприємства 1 виділені кошти в об'ємі 0 млн. одиниць вартості. У цьому випадку можна реалізувати тільки проект A (нічого не робимо), тому що , де – об'єм коштів, вкладених у проект A для першого підприємства. Прибуток від реалізації цього проекту: .

Таблиця заповнюється в такий спосіб:

Крок	Можливі стани кроку : (кількість коштів, вкладених у підпр. )	Можливі розв’язки на кроці	Вартість розв’язку (прибуток)	Умовно оптимальний розв’язок
Допусти мі проекти:	Об'єм коштів, вкладених у проект :	Об'єм коштів, вкладених у підприємства
		A			0+0=0	A

Нехай – для модернізації підприємства 1 виділені кошти в об'ємі 1 млн. одиниць вартості. У цьому випадку можна реалізувати проекти A і B. Ці проекти допустимі, оскільки і .

Якщо реалізувати проект A і при цьому витратити , то залишок коштів від реалізації проекту A становитиме: (млн. одиниць вартості). Але, цей залишок, за означенням функції , ніде не використовується, значить – економічний ефект (прибуток) від цих капіталовкладень дорівнює нулю. У підсумку прибуток від реалізації проекту A складе:

(млн. одиниць вартості).

Якщо реалізувати проект B і при цьому витратити , то залишок коштів від реалізації проекту B становитиме: (млн. одиниць вартості). За означенням , тоді прибуток від реалізації проекту B складе: (млн. одиниць вартості).

Відповідна частина таблиці матиме вигляд:

		A B			0+0=0 4+0=4	B

Аналогічні дії проводяться для випадків, коли для модернізації підприємства 1 виділені кошти об'ємом = 2, 3, 4, 5, 6 (млн. одиниць вартості):

		A B			0+0=0 4+0=4	B
		A B С			0+0=0 4+0=4 5+0=5	C
		A B С D			0+0=0 4+0=4 5+0=5 7+0=7	D
		A B C D			0+0=0 4+0=4 5+0=5 7+0=7	D
		A B C D			0+0=0 4+0=4 5+0=5 7+0=7	D

Планування кроку 2.

На цьому кроці приймається рішення щодо модернізації підприємств 1 і 2. Для цього можуть бути використані кошти в кількості від 0 до =6, тобто величина може прийняти одне з семи значень: 0, 1, 2, 3, 4, 5, і 6 (млн. одиниць вартості).

Відповідна частина таблиці має вигляд:

		A			0+0=0	A
	A			0+4=4	A
	A B			0+4=4 5+0=5	B
	A B C			0+5=5 5+4=9 6+0=6	B
4	A B C			0+ 7 =7 5+ 4 =9 6+ 4 =10	C
	A B C			0+7=7 5+5=10 6+4=10	B,C
	A B C			0+7=7 5+7=12 6+5=11	B

Докладніше розглянемо випадок, коли для модернізації підприємств 1 і 2 виділені кошти об'ємом млн. одиниць вартості. У цьому випадку на другому підприємстві можна реалізувати проекти A, B і C (ці проекти допустимі, оскільки , , ):

– проект A,потребує млн., тобто, на підприємство 1 було виділено 4-0=4 млн., максимальний прибуток від цих 4 млн. складає 7 млн. (цю величину ми отримали при плануванні першого етапу); у цьому випадку сумарний прибуток від млн., вкладених в обидва перших підприємства, дорівнює 0+7=7;

– проект B,потребує млн., тобто, на підприємство 1 було витрачено 4-2=2 млн., максимальний прибуток від цих 2 млн. складає 4 млн. (цю величину ми отримали при плануванні першого етапу); тоді сумарний прибуток від млн., вкладених у два перших підприємства, дорівнює 5+4=9;

– проект C,потребує млн., тобто, на підприємство 1 був виділений 4-3=1 млн., максимальний прибуток від цього 1 млн. складає 4 млн. (цю величину ми отримали при плануванні першого етапу); у цьому випадку сумарний прибуток від млн., вкладених у два перших підприємства, дорівнює 6+4=10;

Планування кроку 3.

На цьому етапі приймається рішення про модернізацію всіх трьох підприємств (1, 2 і 3). Для цього фірма виділила кошти в кількості =6, тобто величина може прийняти тільки одне значення (6 млн. одиниць вартості).

Повний процес розв’язку задачі наведений у табл. 5:

Таблиця 5

Шаг	Можливі стани кроку : (кількість коштів, вкладених у підпр. )	Можливі розв’язки на кроці	Вартість розв’язку (прибуток)	Умовний оптим. розв’язок
Допусти мі проекти:	Об'єм коштів, вкладених у проект :	Об'єм коштів, вкладених у проект :
		A			0+0=0	A
1	A B			0+0=0 4+0=4	B
	A B			0+0=0 4+0=4	B
	A B C			0+0=0 4+0=4 5+0=5	C
	A B C D			0+0=0 4+0=4 5+0=5 7+0=7	D
		A			0+0=0	A
	A			0+4=4	A
2	A B			0+4=4 5+0=5	B
3	A B C		1	0+5=5 5+4=9 6+0=6	B
4	A B C			0+7=7 5+4=9 6+4=10	C
	A B C			0+7=7 5+5=10 6+4=10	B,C
	A B C			0+7=7 5+7=12 6+5=11	B
		A B C D		3	0+12=12 3+10=13 5+9=14 7+5=12	C

Відповідь:	Підприємство
	Проект, що реалізується	B	B	C

Максимальний прибуток складає 14 млн.

Перевірка:

Підприємство				Разом
Проект, що реалізується	B	B	C
Вкладено коштів
Прибуток

4.6 Завдання для самостійної роботи

Задача 1. n=3, = 4 млн. одиниць вартості.

Проект	Підприємство 1	Підприємство 2	Підприємство 3
A
B
C
D

Відповідь:	Підприємство
	Проект, що реалізується	А	С	В

Максимальний прибуток складає 12 млн.

Задача 2. n=3, = 5 млн. одиниць вартості.

Проект	Підприємство 1	Підприємство 2	Підприємство 3
A
B
C
D			--	--

Відповідь: У цьому випадку є чотири оптимальні розв’язки

Підприємство
Проект, що реалізується (перший оптимум)	А	С	С
Проект, що реалізується (другий оптимум)	В	В	С
Проект, що реалізується (третій оптимум)	В	C	B
Проект, що реалізується (четвертий оптимум)	D	C	A

Максимальний прибуток складає 14 млн.

Перевірка (для перших двох альтернативних розв’язків):

Підприємство				Разом
Проект, що реалізується (перший оптимум)	А	С	С	-
Вкладено коштів
Прибуток
Проект, що реалізується (другий оптимум)	В	В	С	-
Вкладено коштів
Прибуток

3. n=4, = 6 млн. одиниць вартості.

Про ект	Підприємство 1	Підприємство 2	Підприємство 3	Підприємство 4
A
B
C
D			–	–	–	–

Відповідь:	Підприємство
	Проект, що реалізується	А	В	В	С

Максимальний прибуток складає 20 млн.