Деление

Если выполняется деление a₁/a₂, то стрелка от a₁ к косой черте в кружке получает коэффициент +1, а стрелка от a₂ к косой черте в кружке получает коэффициент -1.

Смысл всех этих коэффициентов следующий: относительная ошибка результата любой операции (круж­ка) входит в результат следующей операции, умножаясь на коэффи­циент у стрелки, соединяющей эти две операции [6].

В качестве примера можно рас­смотреть рис. 2.2, который отли­чается от 2.1 только тем, что около стрелок расставлены соответствую­щие коэффициенты.

Предположим, что три исход­ные величины на рис. 2.1 имеют относительные ошибки округления, равные соответственно i_x, i_y и i_z, и посмотрим, как применяется пра­вило подсчета ошибки. Сначала рассмотрим сложение. Относитель­ная ошибка величины х составля­ет i_x; эта ошибка войдет в резуль­тат следующей операции (сложе­ния) умноженной на коэффициент у стрелки, соединяю­щей х в кружке со знаком + в кружке:

Рис. 2.2. Граф вычи­слительного процесса

В последнем выражении были опущены черточки над х и у; тем не менее подразумевается, что эти величины являются приближенными. Аналогично, относительная ошибка у, равная i_y, войдет в результат операции сложения умножен­ной на коэффициент при стрелке, соединяющей у в кружке со знаком + в кружке.

Наконец, при выполнении операции сложения появляется ошибка округления, которую мы обозначим через r₁. Таким образом, полная относительная ошибка результата сложе­ния равна следующей сумме:

.

Теперь можно применить то же правило к умножению. Один из сомножителей есть сумма х и у, ошибку которой мы только что вычислили; эта ошибка, согласно изложен­ным выше правилам, войдет в результат умножения умноженной на +1. Относительная ошибка сомножителя z, равная i_z, также войдет в результат умножения умноженной на +1. При выполнении операции умножения появляется ошибка округления, равная r₂. Полная ошибка результата операции умножения выразится следующим образом:

Если все результаты соответствующим образом округ­лены (имеется в виду симметричное округление), то ни одна из ошибок округления не превзойдет . Поэтому

Если х и у оба неотрицательны, то сумма

не может быть больше 1, и окончательно мы имеем [6]

(2.7)