Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пискунов, гл. X111, §16—18, упр. 118, 121—124; §20-22, упр. 129—134, 136; §23, 24, упр. 148—157, 38—40; § 25, упр. 141. 158. Разберите решения задачи 34-37 из данного пособия.
Задача 34. Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .
Решение: Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию . Положим , где - некоторая функция аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных и . Решим это уравнение:
; ;
,
откуда или .
Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем . Следовательно, . Теперь решаем уравнение первого порядка :
;
.
Определим численное значение при указанных начальных условиях. Имеем ; .
Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Задача 35. Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: ; .
Решение: Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента . Положим , – некоторая функция аргумента . Если
, то . Тогда данное уравнение примет вид
; ; .
Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: ; ; - решение данного уравнения.
Приравняем нулю второй множитель:
; ; ;
, или .
Используя начальные условия, находим :
; .
Далее решаем уравнение :
; .
Теперь определим значение :
; .
Тогда
; и - искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Задача 36. Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
, , .
Решение: Обе части первого уравнения системы продифференцируем по переменной :
.
В полученном уравнении заменим правой частью второго уравнения системы. В результате получим неоднородное линейное уравнение второго порядка:
(1)
Составим и решим соответствующее однородное линейное уравнение:
(2)
Характеристическое уравнение имеет корни: , . Следовательно, общее решение (2) имеет вид
.
Находим частное решение . Дважды дифференцируя, получим , . Подставив в (1), находим . Следовательно, и . (3)
Из первого уравнения системы находим, что , или , откуда . (4)
Подставив начальные условия в (3) и (4), получим систему
Решение этой системы дает и . Следовательно,
и – частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
Задача 37. Найти частные решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
а) ; б) .
При решении данных уравнений удобно использовать следующий алгоритм. Если дано неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью где , где - многочлен степени , - многочлен степени . Тогда общее решение уравнения ищется в виде , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-либо частное решение неоднородного уравнения.
1. Чтобы найти - общее решение соответствующего однородного уравнения составляем характеристическое уравнение . При решении которого возможны следующие случаи:
1) уравнение имеет действительные различные корни , тогда , где и - произвольные постоянные;
2) уравнение имеет действительные равные корни , тогда , где и - произвольные постоянные;
3) уравнение имеет комплексные корни и , тогда , где и - произвольные постоянные.
2. Если правая часть уравнения имеет специальный вид , где - многочлен степени , - многочлен степени , тогда частное решение ищется в виде: , и - многочлены степени , , а - кратность корня характеристического уравнения .
При составлении частного решения удобно использовать следующую таблицу:
Степень многочлена | Вид многочлена | Вид многочлена |
=0 | ||
=1 | ||
=2 | ||
=3 |
Решение: а) .
Общее решение данного уравнения имеет вид: .
Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения действительные различные числа (первый случай), то или .
Теперь найдём . Правая часть имеет специальный вид, причём =2, =0, значит , =0, =0, тогда и , т.о. =1.
Получаем: , т.к. , =1, =0, то ,
. Найдём производные первого и второго порядка от .
, . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения:
Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях :
Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : .
Подставляем начальные условия в и .
Отсюда
Тогда -частное решение исходного уравнения.
б)
Общее решение данного уравнения имеет вид: .
Найдём . Для этого решим соответствующее однородное уравнение . Составляем характеристическое уравнение: , . Корнями этого уравнения являются и . Т.к. решения комплексные числа (третий случай), то или .
Теперь найдём . Правая часть есть сумма двух функций, имеющих специальный вид: , где и . Тогда .
Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =3, =0, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0.
Получаем: , т.к. , =1, =0, то .
Рассмотрим . Имеем =0, =0, значит , =0, =2, тогда не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, т.о. =0.
Получаем: , т.к. , =1, то .
Тогда . Найдём производные первого и второго порядка от .
, . Запишем , и следующим образом, подписывая слева коэффициенты , и из исходного уравнения:
Далее приравниваем коэффициенты при соответствующих подобных слагаемых:
Тогда . Следовательно, общее решение исходного уравнения: . Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, найдём : . Подставляем начальные условия в и .
Отсюда
Тогда - частное решение исходного уравнения.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 1072 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!