Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пискунов, гл. X111, §1—4, упр. 1 – 5, 9—23, 26,27, 29, 33, 35; §5, упр. 39—44, 46; § 7, 8, упр. 57—68. Разберите решения задач 32, 33 из данного пособия.
Задача 32. Найти общее решение уравнения .
Решение: Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при и есть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных . Применяем подстановку , где – некоторая функция аргумента .
Если , то дифференциал , и данное уравнение примет вид
.
Сократив на , будем иметь:
;
;
;
;
.
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно и . Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
; ;
; .
Потенцируя, находим , или . Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или – общее решение данного уравнения.
Задача 33. Найти общее решение уравнения .
Решение: Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию и её производную в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку , где и - некоторые неизвестные функции аргумента . Если , то и данное уравнение примет вид
,
или
. (1)
Так как искомая функция представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т.е. выберем функцию так, чтобы имело место равенство
(2)
При таком выборе функции уравнение (1) примет вид
. (3)
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно и . Решим это уравнение:
; ; ;
; , .
Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое – либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0. Подставив в (3) найденное выражение для , получим: ; ; ; . Интегрируя, получаем . Тогда - общее решение данного уравнения.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 491 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!