Частные производные

Частной производной по переменной х от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю:

.

Частная производная по х есть обычная производная от функции , которая рассматривается как функция только от переменной х, при фиксированном значении переменной у.

Аналогично можно определить производную по переменной у:

.

Пример. Найти , если .

Решение. Так как производная по переменной х вычисляется при неизменном y, то = . Аналогично .

Функции , называют частными производными первого порядка.

Эти функции тоже могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они обозначаются следующим образом: = , , ,

.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Так как , и , то ,

, , .

Заметим, что . Это равенство всегда выполняется, если частные производные второго порядка непрерывны.