Определение скалярного произведения и его свойства

Пусть даны два вектора и .Тогда их скалярное произведение определяется из равенства , где j – угол между этими векторами.

Если векторы заданы в координатной форме , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

а) ;

б) если ^ (ортогональные вектора), то = 0;

в) ;

г) ;

д) , где λ – любое число.

Примеры.

а) Найти скалярное произведение векторов = (2, 1, 1) и = (2, -5, 1).

Из определения имеем = .

б) Даны вектор = (m, 3, 4) и вектор = (4, m, -7). При каких значениях m вектор ортогонален вектору ?

Из условий ортогональности имеем: = 4 m + 3 m -28 = 0,

7 m = 28, m = 4.

в) Найти , если и ^ .

Из свойств скалярного произведения имеем: ,

так как ^ , тогда

г) Определить угол между векторами = (1, 2, 3) и = (0, 4, -2).

Так как , то . Из координатного представления векторов находим 0+8-6=2, по формуле (4.1) имеем тогда