![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Смешанным произведением трех векторов
называется число
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
а) , если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);
б)
г) объем параллелепипеда, построенного на векторах и
, равен
Примеры.
а) Найти смешанное произведение векторов =(5, 7, 2),
= (1, -1, 1),
= (2, 2, 1).
Из определения имеем
= -5 + 14 + 4 + 4 - 10 - 7 = 0, т.е. вектора
и
компланарны.
б) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (2, 2, 2), В (4, 3, 3), С (4, 5, 4), D (5, 5, 6).
Из свойств смешанного произведения заключаем, что искомый объем равен
в) Вычислим
Используя определение смешанного произведения и свойства векторного и скалярного произведений, получаем
г) По координатам вершин пирамиды
найти: 1) длины ребер
и
2) угол между ребрами
и
3) площадь грани
4) объем пирамиды
Находим векторы и
Длины векторов, т.е. длины ребер и
, таковы:
Скалярное произведение векторов и
равно
а косинус угла между ними:
Отсюда следует, что – тупой угол, равный
(рад.) с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами
и
Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
и
, т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов:
Следовательно,
Объем пирамиды равен
объема параллелепипеда, построенного на векторах
,
,
. Вектор
Итак,
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 296 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!