Матрицы

являются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (3.1).

Исследование на совместность и решение системы производят обычно одновременно с помощью метода Гаусса. Напомним, что элементы а_ii в матрице А называются диагональными. Метод Гаусса заключается в элементарных преобразованиях строк матрицы А ₁ так, чтобы элементы преобразованной матрицы, стоящие ниже диагональных элементов, были нулевыми. При этом необходимо следить за диагональными элементами: они не должны обращаться в нуль. Если же при элементарных преобразованиях строк какой-либо диагональный элемент обратится в нуль (например, а_ii = 0), то поступать необходимо следующим образом: а) если в этом же столбце (где диагональный элемент оказался равен нулю) имеется ниже диагонального элемента ненулевой элемент, то соответствующую строку меняют местом с i -й строкой и продолжают преобразования; б) если же ниже нулевого диагонального элемента все элементы нулевые, то мы должны перейти к построению ступенчато-диагональной матрицы. Для этого сдвигаемся на один столбец вправо и считаем, что и диагональ матрицы тоже сдвинулась вправо и далее поступаем как описано выше. После всех преобразований матрица системы должна принять так называемый диагонально ступенчатый вид:

Ступенек в преобразованной матрице может быть несколько, причем разной длины. Элементы, которые будут стоять в углах таких ступенек, назовем ступенчато-диагональными (в данном примере это: а ₁₁, а ₂₂, а ₃₄, а ₄₅, а ₅₆,...).

Примеры.

а) Проверим совместность системы

Для этого запишем расширенную матрицу системы и проведем элементарные преобразования над строками:

Из сказанного выше вытекает, что данная система совместна.

б) Исследуем на совместность систему

Записав расширенную матрицу системы, с помощью элементарных преобразований получаем

Таким образом, данная система несовместна.