Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через ось Z (рис. 4.15). Все плоскости могут вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью . Тангенциальная составляющая скорости i -ой точки может быть записана в виде: .

Тогда, учитывая, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: моментом импульса относительно оси Z называется составляющая по этой оси момента импульса относительно точки «О», лежащей на оси (рис. 4.16): , можно показать, что , где – составляющая радиус-вектора , перпендикулярная оси Z; – составляющая вектора , перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось Z и точку «m».

Подставив значение для в формулу для получим выражение для момента импульса точки относительно оси Z:

.

Это можно записать, воспользовавшись свойством двойного векторного произведения и учтя, что векторы и взаимно перпендикулярны.

Просуммировав это выражение по всем точкам и вынося общий множитель за знак суммы (S), найдем для момента импульса системы относительно оси Z следующее выражение:

,

где – момент инерции системы материальных точек относительно оси Z.

Тогда . Учитывая, что , получаем

. (4.3)

Это основное уравнение динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением II-закона Ньютона: .

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции есть величина постоянная относительно фиксированной оси. Следовательно, для абсолютно твердого тела основное уравнение динамики вращательного движения примет вид:

, (4.4)

где – угловое ускорение тела;

– результирующий момент внешних сил, действующих на тело.

Сопоставив уравнения динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, легко заметить, что при вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы – момент инерции и т.д. (см. таблицу).

Поступательное движение	Вращательное движение
– сила	или – момент силы
m – масса	– момент инерции
– линейная скорость	– угловая скорость
– линейное ускорение	–угловое ускорение
– импульс	–момент импульса

Все приведенные выше формулы справедливы для случая, если ось вращения тела неподвижна.