![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду, изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но не может считаться обобщением этой последней теории. В самом деле, в нашей теории допускается использование любых невырожденных линейных преобразований, в то время как приведение кривой второго порядка к каноническому виду достигается применением линейных преобразований весьма специального вида (2), являющихся вращениями плоскости. Эта геометрическая теория может быть, однако, обобщена на случай квадратичных форм от неизвестных с действительными коэффициентами, если потребовать, чтобы матрица преобразования
была ортогональной. Такое преобразование называется ортогональным, а сама процедура
приведением квадратичных форм к главным осям.
ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем смотреть на матрицу квадратичной формы как на матрицу некоторого линейного оператора в евклидовом пространстве. Если матрица квадратичной формы, то она симметрическая порядка
. Если
некоторый ортонормированный базис
мерного евклидова пространства, то матрица
задаёт в этом базисе симметрический оператор
. По основной теореме о симметрических операторах в евклидовом пространстве в подходящем ортонормированном базисе
его матрица
будет диагональной. Пусть
матрица перехода от
к
, тогда
.
Но матрица , как матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, по теореме 2 §1.6 будет ортогональной, а значит,
. Поэтому
. А именно так преобразуется матрица
квадратичной формы, подвергнутой линейному преобразованию неизвестных с матрицей
.
Итак, преобразование неизвестных, имеющее матрицу ортогонально, а матрица
, будучи диагональной, соответствует квадратичной форме канонического вида. □
Тот факт, что матрица линейного оператора в базисе, составленном из собственных векторов, имеет диагональный вид (с собственными значениями по главной диагонали) [2], даёт нам метод практического отыскания канонического вида квадратичной формы, а также самого этого ортогонального преобразования.
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
к каноническому виду и написать этот канонический вид.
Решение. Матрица этой формы имеет вид
,
Найдём её характеристический многочлен:
.
Таким образом, матрица имеет двукратный корень
и простой корень
. Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет
.
Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям , т. е. решим системы линейных однородных уравнений
для каждого
.
При имеем
.
Откуда , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный набор решений будет:
Применив к ним процесс ортогонализации, получим:
При имеем
.
Данная система эквивалентна следующей:
,
решением которой будет
.
Остаётся нормировать систему :
Таким образом искомое преобразование имеет вид:
Для того чтобы найти матрицу преобразования , нужно выразить переменные
через
, т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования
. А так как
, то достаточно транспонировать матрицу преобразования
. Окончательно имеем:
.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 4682 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!