![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть дана пара действительных квадратичных форм от неизвестных,
и
. Существует ли такое невырожденное линейное преобразование неизвестных
, которое одновременно приводило бы обе эти формы к каноническому виду?
В общем случае ответ будет отрицательным. Рассмотрим, например, пару форм
.
Пусть существует невырожденное линейное преобразование
приводящее обе эти формы к каноническому виду. Для того чтобы форма могла быть приведена указанным преобразованием к каноническому виду, один из коэффициентов
должен быть равен нулю, иначе вошло бы слагаемое
. Меняя, если нужно, нумерацию неизвестных
, можно положить, что
и поэтому
. Мы получим теперь, однако, что
.
Так как форма также должна была перейти в канонический вид, то
, т. е.
, что вместе с
противоречит невырожденности указанного линейного преобразования.
Ситуация будет иной, если мы положим, что хотя бы одна из наших форм, например , является положительно определенной.
ТЕОРЕМА. Если и
пара действительных квадратичных форм от
неизвестных, причем вторая из них положительно определенная, то существует невырожденное линейное преобразование, одновременно приводящее форму
к нормальному виду, а форму
к каноническому виду.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выполним сначала невырожденное линейное преобразование неизвестных ,
,
приводящее положительно определенную форму к нормальному виду,
.
Форма перейдет при этом в некоторую форму
от новых неизвестных,
.
Совершим теперь ортогональное преобразование неизвестных ,
,
приводящее форму к главным осям,
.
Это преобразование переводит сумму квадратов неизвестных в сумму квадратов неизвестных
(что следует из формулы
). В результате мы получаем
,
.
т. е. линейное преобразование
является искомым. □
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 402 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!