Задачи к главе I

1. Выяснить, являются ли ортогональными в евклидовом пространстве следующие системы векторов:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ?

2. Установить, образует ли каждая из указанных систем векторов ортогональный базис в евклидовом пространстве :

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж)

?

3. Является ли нормированным каждый из векторов евклидова пространства :

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж) ?

4. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства , построить ортонормированный:

а) ;

б) ;

в) .

5. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства , построить ортонормированный:

а) ;

б) .

6. Даны векторы евклидова пространства . Найти длины векторов и , их скалярное произведение, косинус угла между ними:

а) ;

б) ;

в) .

7. Выяснить, является ли матрица ортогональной, и если является, то найти обратную ей:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

8. Какому условию должны удовлетворять и , чтобы матрица была ортогональной?

9. Оператор в некотором ортонормированном базисе задан матрицей . Выяснить, является ли оператор ортогональным, если:

а)

б)

в)

10. При каких условиях диагональная матрица будет ортогональной?

11. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, если:

а)

б)

в)

12. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Выяснить, является ли оператор самосопряжённым, если:

а)

б)

в)

г)

13. При каком значении оператор, заданный матрицей в некотором ортонормированном базисе, является одновременно ортогональным и самосопряжённым, если:

а)

б)

14. Линейный оператор в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу . Найти матрицу сопряжённого оператора в ортонормированном базисе , если:

а)

б)

в)