![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Линейный оператор унитарного пространства
называется унитарным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
.
Непосредственно из определения унитарного оператора следует:
,
т. е. тождественный оператор. Следовательно, унитарный оператор можно определить как оператор, для которого
.
Так как , заключаем, что унитарный оператор является частным случаем нормального оператора.
Если матрица оператора
в некотором ортонормированном базисе, то матрица
будет
сопряжено транспонированной. Условие унитарности оператора
в матричной форме будет выглядеть следующим образом:
или
. Такая матрица
тоже называется унитарной.
Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что , т. е. транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу
ортогональной.
ТЕОРЕМА 1. Линейный оператор унитарного пространства
является унитарным тогда и только тогда, когда он сохраняет длину вектора, т. е.
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно,
.
В другую сторону, пусть . Тогда для любого
справедливо:
. Если
сохраняет скалярное произведение, то
. Раскрывая скобки и учитывая, что
и
, получим
(1)
При получаем
(2)
В случае евклидова пространства, т. к. , имеем
.
Иначе, положим в (1) , получим
.
Прибавим полученное равенство к (2), тогда . □
ТЕОРЕМА 2. Линейный оператор унитарного пространства
является унитарным тогда и только тогда, когда
переводит любой ортонормированный базис этого пространства снова в ортонормированный.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ортонормированный базис пространства
. По определению унитарного пространства
, значит,
. А по предыдущей теореме
.
Обратно, пусть
,
, тогда
. Так как по предположению
переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то
.
Следовательно, унитарный оператор. □
ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, в некотором ортонормированном базисе он задаётся диагональной матрицей. Покажем, что собственные значения
по модулю равны 1.
Пусть . тогда
.
Но , т. е.
. Значит,
, т. е.
. □
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 1799 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!