Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Если температура воздуха Т и ускорение свободного падения g не меняются с высотой, то давление воздуха Р на высоте h, отсчитанной от некоторого уровня, принятого за начальный, связано с давлением Р₀ на этом начальном уровне экспоненциальной зависимостью:

. (4.2.34)

Формула (4.2.34) носит название барометрической формулы. Она справедлива на высотах до 11км для изотермической атмосферы.[6]

Рис. 4.2.9. Давление газа на различных высотах над Землей.

Из этой формулы сле­дует, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше его молярная масса ) и чем ниже температура Т. На рис. 4.2.9 изображены две кривые, описываемые уравнением вида (4.2.34), которые можно трактовать либо как соот­ветствующие разным (при одинаковой температуре Т), либо как отвечающие разным Т (при одинаковой молярной массе ),

Зависимость концентрации n молекул газа от высоты выводится на основе формулы (4.2.34) с использованием основного уравнения МКТ (4.2.16):

.

Заменив молярную массу массой одной молекулы (см.(4.1.2)), получим следующее выражение для концентрации молекул газа:

. (4.2.35)

Выражение определяет потенциальную энергию молекулы в поле силы тяжести. Больцман показал, что формула (4.2.35) будет справедлива и в случае любого потенциального поля, если заменить потенциальной энергией молекулы в данном поле сил:

. (4.2.36)

Рис. 4.2.10. Распределение Больцмана

Выражение (4.2.36) называют распределением Больцмана (рис. 4.2.10). Оно справедливо для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. Из формулы (4.2.36) следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает, обращаясь в нуль при Т = 0. При абсолютном нуле все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах концентрация молекул слабо убывает с высотой, так что молекулы оказываются распределенными по высоте почти равномерно. Это объясняется конкуренцией двух тенденций – 1) гравитационное притяжение молекул к Земле и 2) тепловое хаотическое движение, стремящееся сделать распределение молекул равномерным по высоте.