Обратная матрица. Пусть дана квадратная матрица а порядка N.

Пусть дана квадратная матрица А порядка n.

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Квадратная матрица А ^-1 порядка n называется обратной матрицей для данной матрицы А, если

, где Е – единичная матрица. (16)

Обозначим через D определитель матрицы А и вычислим его. Тогда, если , то матрицу А называют неособенной (невырожденной) матрицей, если же , то особенной (вырожденной) матрицей.

ТЕОРЕМА 6.1. Всякая неособенная матрица А имеет обратную матрицу А ^-1, определяемую формулой

, (17)

где есть алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.

Доказательство. Покажем, что . Действительно,

Согласно обобщению теоремы 4.1 о разложении по элементам любой строки все элементы, расположенные на главной диагонали предыдущей матрицы, равны D, а оставшиеся элементы, согласно обобщению теоремы 4.2, равны нулю. Тогда

.

Аналогично доказывается, что .

ПРИМЕР 6.1. Найти матрицу А ^-1, если .

Решение. Выясним, является ли матрица А невырожденной и имеет обратную матрицу А ^-1.

.

Так как определитель , то матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу А ^-1.

, где

, , ,

, , ,

, , .

Подставляя найденные числа в формулу для А ^-1, получим

.