Определители третьего порядка

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число

(7)

Определитель третьего порядка обозначается символом

, (8)

где числа называются его элементами.

Индексы и у элемента показывают номера строки и столбца, на пересечении которых записан этот элемент.

Например, элемент расположен на пересечении второй строки () и третьего столбца ().

Элементы образуют главную диагональ определителя, а элементы - побочную диагональ.

Определение 4.1 имеет сложный по форме вид, поэтому для нахождения определителя третьего порядка предложены более простые правила. Так, согласно правилу треугольников необходимо:

1) вычислить с собственными знаками произведения элементов, лежащих на главной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали (рис.1);

2) найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками (рис.2);

3) найти общую сумму всех произведений.

ПРИМЕР 4.1. .

Все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (7).

Например, покажем, что определитель, у которого элементы двух его строк пропорциональны, равен нулю. Действительно,

Аналогично проверяется справедливость и других свойств.

Пусть дан определитель (8) третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Минором элемента , где определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца. Так, например, минор элемента есть определитель

, а минор элемента есть .

С помощью миноров определитель (7) можно записать в виде

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Алгебраическим дополнением элемента , где , называется минор этого элемента, взятый со знаком .

Согласно определению 4.3. имеем.

, где . (10)

Например,

,

и т.д.

ТЕОРЕМЕ 4.1. (Разложение определителя по элементам строки или столбца).

Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Иными словами, имеют место шесть равенств:

(11)

Проверим, например, справедливость равенства:

.

Согласно определениям минора и алгебраического дополнения получим

ТЕОРЕМЕ 4.2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов любой другой его строки (столбца) равна нулю.

Для определенности выберем элементы первой строки и алгебраические дополнения элементов второй строки определителя. Составим сумму произведений и покажем, что эта сумма равна нулю.

Действительно,

Аналогично проверяется равенство нулю и всех других подобных сумм.

В заключение рассмотрим схему использования свойств определителя и теоремы разложения при вычислении определителя.

ПРИМЕР 4.2. Вычислить определитель .

Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки.

ПРИМЕР 4.3. Вычислить определитель .

Решение. Прибавляя ко второй строке первую, умноженную на -8, получим . Раскладывая этот определитель по элементам второй его строки, найдем

.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ n -го ПОРЯДКА.

Пусть дана квадратная матрица А n -го порядка

.

Определитель n -го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом

(12)

и определяется как число

, (13)

где есть миноры соответствующих элементов , т.е. определители (n -1)-го порядка, полученные из данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго, …, n -го его столбцов.

Например, .

Так как каждый минор , где k =1,2,…, n есть определитель (n -1)-го порядка, то согласно (13) вычисление определителя n -го порядка сводится к вычислению n определителей (n -1)-го порядка.

ПРИМЕР 5.1. Вычислить определитель .

Решение. Согласно (13) получим

Определители n -го порядка имеют те же свойства, что и определители третьего порядка. Их справедливость проверяется с помощью соотношения (13).

Выберем в определителе D элемент , где .

Минором элемента определителя n -го порядка называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из D вычеркиванием его i -й строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, взятый с дополнительным знаком (-1) ^i+j, т.е.

, где . (14)

Для определителей n -го порядка также остается справедливой теореме разложения, т.е. определитель n -го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

(15)

Равенство (15) содержит 2 n формул, по каждой из которых можно произвести вычисление определителя.

На практике полезно перед применением теоремы разложения преобразовать определитель с помощью его свойств так, чтобы в одной из его строк (столбцов) образовалось максимальное число нулевых элементов.

ПРИМЕР 5.2. Вычислить определитель

.

Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца третий, найдем

,

так как образовавшийся определитель содержит два одинаковых столбца.