![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число
(7)
Определитель третьего порядка обозначается символом
, (8)
где числа называются его элементами.
Индексы и
у элемента
показывают номера строки и столбца, на пересечении которых записан этот элемент.
Например, элемент расположен на пересечении второй строки (
) и третьего столбца (
).
Элементы образуют главную диагональ определителя, а элементы
- побочную диагональ.
Определение 4.1 имеет сложный по форме вид, поэтому для нахождения определителя третьего порядка предложены более простые правила. Так, согласно правилу треугольников необходимо:
1) вычислить с собственными знаками произведения элементов, лежащих на главной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали (рис.1);
2) найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками (рис.2);
3) найти общую сумму всех произведений.
ПРИМЕР 4.1. .
Все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (7).
Например, покажем, что определитель, у которого элементы двух его строк пропорциональны, равен нулю. Действительно,
Аналогично проверяется справедливость и других свойств.
Пусть дан определитель (8) третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Минором элемента
, где
определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием
строки и
столбца. Так, например, минор
элемента
есть определитель
, а минор элемента
есть
.
С помощью миноров определитель (7) можно записать в виде
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Алгебраическим дополнением элемента
, где
, называется минор
этого элемента, взятый со знаком
.
Согласно определению 4.3. имеем.
, где
. (10)
Например,
,
и т.д.
ТЕОРЕМЕ 4.1. (Разложение определителя по элементам строки или столбца).
Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Иными словами, имеют место шесть равенств:
(11)
Проверим, например, справедливость равенства:
.
Согласно определениям минора и алгебраического дополнения получим
ТЕОРЕМЕ 4.2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов любой другой его строки (столбца) равна нулю.
Для определенности выберем элементы первой строки и алгебраические дополнения
элементов второй строки определителя. Составим сумму произведений
и покажем, что эта сумма равна нулю.
Действительно,
Аналогично проверяется равенство нулю и всех других подобных сумм.
В заключение рассмотрим схему использования свойств определителя и теоремы разложения при вычислении определителя.
ПРИМЕР 4.2. Вычислить определитель .
Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки.
ПРИМЕР 4.3. Вычислить определитель .
Решение. Прибавляя ко второй строке первую, умноженную на -8, получим . Раскладывая этот определитель по элементам второй его строки, найдем
.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ n -го ПОРЯДКА.
Пусть дана квадратная матрица А n -го порядка
.
Определитель n -го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом
(12)
и определяется как число
, (13)
где есть миноры соответствующих элементов
, т.е. определители (n -1)-го порядка, полученные из данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго, …, n -го его столбцов.
Например, .
Так как каждый минор , где k =1,2,…, n есть определитель (n -1)-го порядка, то согласно (13) вычисление определителя n -го порядка сводится к вычислению n определителей (n -1)-го порядка.
ПРИМЕР 5.1. Вычислить определитель .
Решение. Согласно (13) получим
Определители n -го порядка имеют те же свойства, что и определители третьего порядка. Их справедливость проверяется с помощью соотношения (13).
Выберем в определителе D элемент , где
.
Минором элемента
определителя n -го порядка называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из D вычеркиванием его i -й строки и j -го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента
называется минор
этого элемента, взятый с дополнительным знаком (-1) i+j, т.е.
, где
. (14)
Для определителей n -го порядка также остается справедливой теореме разложения, т.е. определитель n -го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.
(15)
Равенство (15) содержит 2 n формул, по каждой из которых можно произвести вычисление определителя.
На практике полезно перед применением теоремы разложения преобразовать определитель с помощью его свойств так, чтобы в одной из его строк (столбцов) образовалось максимальное число нулевых элементов.
ПРИМЕР 5.2. Вычислить определитель
.
Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца третий, найдем
,
так как образовавшийся определитель содержит два одинаковых столбца.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 483 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!