Виды средних величин, порядок их вычисления

Все средние величины делятся на два больших класса:

1) степенные средние; к ним относятся такие известные и часто применяемые виды, как средняя арифметическая величина, средняя квадратическая и средняя геометрическая;

2) структурные средние величины, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда отдельные значения осредняемого признака встречаются в совокупности один или одинаковое число раз. Она равна сумме всех индивидуальных значений, поделенной на их число.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

_ х=	х1 + х2 + х3 + … + хn	=	∑х
n	n

_

где х – средняя арифметическая;

х_1,2,3… – отдельные значения осредняемого признака (варианты);

n – число индивидуальных величин.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда отдельные значения осредняемого признака встречаются в совокупности не одинаковое число раз. Она равна сумме произведения всех индивидуальных значений, помноженных на частоты, и поделенной на сумму частот:

_ х=	х1f1 + х2f2 + х3f3 + … + хnfn	=	∑хf
f1 + f2 + f3 + … + fn	∑f

где f – частота, показывающая, сколько раз повторяется тот или иной признак.

В ряде случаев осредняемый признак представлен не конкретными данными, а в виде интервалов. Чтобы перейти от интервальных значений к конкретным, используется серединное значение интервала, которое определяется суммированием верхних и нижних границ интервала и делением этой суммы пополам.

Если не известны нижняя граница первого интервала и верхняя граница последнего интервала, то используют величину, интервала, рядом с ними расположенного.

В практике статистики бывают случаи, когда весами являются производные признаки, представляющие собой произведения индивидуальных значений на частоты. Например, имеются данные об общем заработке и средней зарплате одного рабочего, а количество рабочих не известно.

В этих случаях применяется формула средней гармонической, которая представляет собой обратную величину средней арифметической, исчисленной из обратных значений осредняемого признака.

Средняя гармоническая простая:

_ хгарм=		=	n
	+		+…+		∑
	х1	х2	хn	х
	n

Средняя гармоническая взвешенная применяется в случаях, если веса отдельных значений не одинаковы

Средняя гармоническая взвешенная:

_ хгарм=		=		=	∑w
	w1	+		w2	+…+		wn	∑	w	∑	w
	х1	х2	хn		x		x
	w1 + w2 + … + wn		∑w

где w – веса

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда необходимо исчислить средние темпы изменения явления во времени.

Средняя геометрическая:

где Х_1,2,3 – цепные коэффициенты роста

n – число коэффициентов роста

П – произведение

Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда осредняемый признак представлен линейными мерами, например, для определения средних расстояний или среднего диаметра труб и т.д.

Средняя квадратическая простая:

Средняя квадратическая взвешенная: