П. 3. Односторонние поверхности

1. Лист Мёбиуса — кольцо, перекрученное один раз.

Упр. 3. Склейте лист Мёбиуса, соединив концы ленты, предварительно перекрутив один конец на 180°. Проведите посередине листа Мёбиуса параллельно краю линию красным карандашом. Затем посередине между красной линией и краем проведите линию синим карандашом.

Разрежьте лист Мёбиуса по красной линии. Что получилось? То, что получилось, разрежьте по синей линии. Что получилось?

Снова сделайте лист Мёбиуса с красной и синей линиями. Разрежьте его сразу по синей линии. Что получилось?

Лист Мёбиуса — пример односторонней поверхности. Лист Мёбиуса имеет 1 край, связность 1 и хроматическое число 6.

2. Ориентируемость. Нарисуем на прозрачном листе Мёбиуса линию s вдоль и посередине листа, начав с какой-то точки Q и закончив через оборот в той же точке Q' с другой стороны модели. Это — свойство односторонней поверхности. Если двигаться по одну сторону от кривой s (по одному ее «берегу») от точки Q, то вернемся в ту же точку Q', оказавшись по другую сторону кривой s (на другом ее «берегу»). Такая кривая s имеет 1 берег (см. рис.).

На двусторонних поверхностях все кривые двубережные. На односторонних поверхностях можно построить замкнутую однобережную кривую. Односторонние поверхности и однобережные кривые взаимно обусловливают друг друга. Первое свойство относится к расположению поверхности в пространстве, второе — к расположению кривой на поверхности.

Построим вокруг точки Q кривой s малую ориентируемую окружность, т.е. окружность с направлением обхода (см. рис.). Будем двигать центр этой окружности по кривой s. Тогда окружность придет в ту же точку Q' ориентированной в противоположном направлении. Поверхность ориентируема, если при движении вдоль любой ее замкнутой кривой окружность сохраняет ориентируемость. Двусторонние поверхности ориентируемы, односторонние — неориентируемы.

3. Бутылка Клейна — замкнутая односторонняя поверхность. Бутылка Клейна склеивается из цилиндра, как и тор, но края цилиндра перед склеиванием «смотрят» не друг на друга, а в одну сторону (см. рис.). Ее связность 2; после 1-го разреза она превращается в кольцо или в лист Мёбиуса.