П. 2. Матричное исчисление

1. Матрица — прямоугольная таблица чисел. (m ´ n)-матрица состоит из m строк и n столбцов чисел a_ij, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Для квадратной матрицы m = n, и размер матрицы n называется ее порядком.

В дальнейшем матрицей будет квадратная матрица (n ´ n). Главная диагональ матрицы — диагональ с числами a_ii. Матрица диагональная, если все числа матрицы, кроме главной диагонали, равны 0. Матрица симметричная, если она симметрична относительно своей главной диагонали.

Сумма матриц A = (a_ij) и B = (b_ij) — матрица C = A + B = (a_ij + b_ij). Произведение A = (a_ij) и B = (b_ij) — матрица C = AB = (с_ij), где с_ij = .

Пример. Пусть A = , B = . Тогда A + B = = , AB = = .

Упр. 6. Пусть A = , B = , C = , O = , E = . Найдите матрицы A + B, B + A, A + O, O + A и AB, BA, AE, EA, AC, CA.

2. Матрица смежности графа с множеством вершин { v₁, v₂, …, v_n } — квадратная матрица A = (a_ij) порядка n, в которой элемент a_ij равен числу ребер графа, соединяющих v_i и v_j. Смежная матрица графа симметрична.

Матрица смежности орграфа с вершинами { v₁, v₂, …, v_n } — квадратная матрица A = (a_ij) (n ´ n), где элемент a_ij равен числу дуг (v_i, v_j) орграфа.

Упр. 7. Вычислите три матрицы смежности для двух орграфов и их графа-основания из примера выше.