Глава 3. Факультативные занятия

Полимино

Человеческая культура возникает и развертывается в игре, как игра.

Йохан Хейзинга. Homo Ludens.

П. 1. Домино

Полимино в достаточной степени вошло в человеческую культуру, чтобы быть темой отдельного параграфа.

Полимино — фигуры, составленные из одноклеточных квадратов так, что каждый квадрат примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону. Простейшие типы полимино — всевозможные комбинации из менее чем 5 квадратов. Предполагается, что полимино можно вращать (т.е. поворачивать на 90, 180 или 270°) и зеркально отражать (переворачивать), не меняя формы самих фигур.

Изобразим первые простейшие типы полимино: из одного квадрата «составлено» мономино, из двух — домино, а из трех можно составить аж две разные фигуры тримино!

Мономино

Домино

I тримино

L тримино

Чтобы узнать, что такое полимино, нужно наработать опыт. А опыт, привычка возникает при решении задач.

Задание 1.

Дана шахматная доска, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток (см. рисунок), и коробка домино, каждое из которых покрывает ровно две клетки шахматной доски. Возможно ли целиком покрыть такую доску с помощью 31 кости домино (без свободных клеток и наложений)?

Задание 2.

Полимино, составленные из четырех квадратов, называются тетрамино. Сколько всего существует тетрамино?

Нарисуйте и назовите их.

П. 2. Тетрис

Ответ на задание 1: нет.

Каждая положенная на нашу доску (см.) кость домино обязательно покроет одно белое и одно черное поле, а N костей домино — N белых и N черных полей, то есть поровну тех и других. Но наша доска содержит больше черных клеток, чем белых, и потому ее нельзя покрыть костями домино. (Типичное рассуждение комбинаторной геометрии!)

Ответ на задание 2: существует пять тетрамино.

I тетрамино

T тетрамино

O тетрамино

N тетрамино

L тетрамино

­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­											­
­	­	­	­	­	­	­	­	­	­	­	­

Тетрамино известно тем, что советский программист Алексей Пажитнов в 1980 году изобрел компьютерную игру Тетрис, быстро ставшую мировым бестселлером.

Классический Тетрис состоит в том, что в стакан на экране падают тетрамино. Игра заканчивается, когда стакан заполнится доверху. Поэтому нужно постараться уложить тетрамино вплотную друг к другу. Имеется одна возможность продлить игру: когда какой-нибудь слой полностью заполнен, то такой слой исчезает.

Слева изображен фрагмент игры в Тетрис: когда I-тетрамино опустится вниз, то исчезнет 2-й слой снизу.

Придумано множество вариантов Тетриса. Есть тетрисы с трехмерными фигурами в пространстве…

Задание 3.

Докажите, что из пяти различных тетрамино нельзя сложить никакой прямоугольник.

Задание 4.

Полимино, составленные из пяти квадратов, называются пентамино. Сколько всего существует пентамино? Нарисуйте и назовите их.

П. 3. Пентикс

Ответ на задание 3. При складывании любой фигуры 5 тетрамино займут ровно 20 одноклеточных квадратов. Существуют всего два 20-кле­точ­ных пря­мо­уголь­ни­ка: 2 ´ 10 и 4 ´ 5. А теперь раскрасим в шахматном порядке и оба прямоугольника, и все пять тетрамино (см. рис.). Получаем, что 4 тетрамино,— уравновешенные,— покрывают две черные и две белые клетки. Пятое, T-тетрамино,— неуравновешенное,— покрывает три клетки одного цвета и одну — другого. Поэтому все пять тетрамино покроют нечетное число клеток каждого цвета и не смогут покрыть оба прямоугольника, содержащих по 10 клеток каждого цвета.

Ответ на задание 4: существует всего 12 пентамино.

W-пентамино

U-пентамино

T-пентамино

V-пентамино

X-пентамино

F-пентамино

Z-пентамино

L-пентамино

N-пентамино

Y-пентамино

P-пентамино

I-пентамино

Вариант тетриса — спортивная компьютерная игра Пентикс. В ней в стакан падают не только тетрамино, но все полимино от мономино до пентамино включительно. При Алтайском госуниверситете (АГУ) зарегистрирована Алтайская федерация пентикса (АФП) и открыт в интернете пентиксный клуб «Стакан Пажитнова». Попасть туда и набрать рейтинг можно с интернетовского адреса АГУ: tbs.dcn-asu.ru.

Комплект пентамино легко сделать. На рис. показано, как вырезать 12 пентамино из прямоугольника 6´13. U-пен­та­ми­но требует отдельного вырезания.

Задание 5. Сложите из 12 элементов пентамино прямоугольник 12´3 и эти 2 фигуры.

Задание 6. Полимино можно сложить из кубов. Нарисуйте все пространственные полимино низших порядков, т.е. вплоть до тетрамино.

п. 4. Кубики Сома

Ответ на задание 6. Слева нарисованы все пространственные полимино низших порядков вплоть до тетрамино. Здесь полимино задается с точностью до положения в пространстве.

Заметим, что первая существенно пространственная фигура, т.е. такая фигура, что все образующие ее кубы нельзя расположить в одной плоскости, находится лишь среди тетрамино. Это связано с тем обстоятельством, что любые три точки, например, центры кубов, всегда принадлежат одной плоскости, тогда как для четырех точек это необязательно.

Два из трех существенно пространственных тетрамино «зеркально равны» друг другу,— они отличаются один от другого, как левый ботинок от правого. Их можно рассматривать как получающиеся зеркальным отображением друг друга.

Один датчанин придумал игру «Кубики Сома». Кубики Сома представляют собой семь заштрихованных на рис. пространственных тел: шесть тетрамино и одно тримино. Суть игры сводится к тому, чтобы сложить из семи перечисленных тел куб размером 3 ´ 3 ´ 3, а также множество других занимательных пространственных фигур.

Можно доказать, что в собранном из кубиков Сома кубе T-тетрамино может располагаться только единственным образом, показанном на рисунке справа.

Легко просчитать на компьютере, что всего различных вариантов сбора куба 3 ´ 3 ´ 3 из кубиков Сома, разумеется, не считая поворотов и зеркальных отражений, ровно 240. При таком расчете можно воспользоваться свойством T-тетрамино, описанным выше.

Задание 7.

Сделайте кубики Сома. Затем соберите куб 3 ´ 3 ´ 3 и зарисуйте его.

Существуют трехмерные обобщения компьютерной игры Тетрис. Одно из них — игра BlockOut — включено в постоянную коллекцию игр автора.

Крестики-нолики

Игру нельзя отрицать (никто не скажет, что игра — искусственное понятие).

Йохан Хейзинга. Homo Ludens.