П. 3. Случайная величина

1. Определение. Рассмотрим дискретное пространство элементарных событий W, элементам которого w Î W отвечает вероятность P (w). Случайной величиной x называется функция x(w), определенная на множестве W и принимающая вещественные значения.

Среди возможных значений x(w), отвечающим

различным w Î W, не обязательно все различны. w1 w2 w3 w4

Обозначим различные возможные значения x через

а 1, а 2, … (эти вещественные числа аi не обязательно x

расположены в порядке возрастания или убывания). а 1 а 2

Пример. Бросаются две монеты. Сколько из них выпадет гербом кверху? Ответ — число, определяемое исходом эксперимента: 0, 1, 2. Пространство элементарных событий W = {w1= гг, w2= гр, w3= рг, w4= рр }.

Имеем случайную величину x = . { x = a1 } { x = a2 }

Упр. 2. Написать случайную величину для 3 монет.

2.Распределение случайной величины. Обозначим w1 w2 w3 w4

{ x = ai } º {w: w Î W, x(w) = ai }. Очевидно, что { x = ai } есть

подмножество множества W, т.е. событие. Обозначим а 1 а 2 x

через pi вероятность этого события { x = ai }:

pi = P{ x = ai } = P (w). Таблица вида , где в верхней строчке стоят возможные значения случайной величины x, а в нижней строчке под каждым значением стоит вероятность p_i = P{ x = a_i } того, что случайная величина x принимает это значение, называется распределением, или таблицей вероятностей, или функцией вероятностей, случайной величины x.

Пример. Найти распределение числа выпавших гербов для 2 монет.

Решение. См. пример п.1. Пространство W состоит из 4 событий;

для "w имеем: P (w) = 1/4. Искомое распределение: .

Упр. 3. Найти распределение числа выпавших гербов для 3 монет.

В приложениях теории вероятностей обычно имеют дело с распределениями случайных величин. Например, при бросании пяти монет проще зарегистрировать x(w), а не элементарные события w. Следовательно, регистрируются значения функции, но не значения аргумента. Необычайно существенно то, что при разных w случайная величина x(w) может принимать одинаковое значение: множество { a 1, a 2, …} значений случайной величины гораздо проще, чем все множество W. Поэтому может получиться так, что невозможно узнать вероятности P (w), но можно определить по частотам вероятности p_i = P{ x = a_i }.