![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Скорость точки
Определим скорость точки, рассматривая векторный способ задания ее движения. Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом , а в момент (
) радиус-вектором
. Вектор
есть вектор перемещения точки за время t (рис. 2.3).
Вводим понятие средней скорости, . (2.3)
Скорость точки в данный момент времени есть предел отношения вектора перемещения к промежутку времени
, за который произошло это перемещение при
, стремящемся к нулю, то есть
а это есть производная . Таким образом, скорость точки равна производной радиус-вектора точки по времени, а именно
, (2.4)
и направлена по касательной к траектории в сторону движения. Единицами измерения скорости являются м/c, км/ч.
Определение скорости
при координатном способе задания движения
Пусть движение точки задано в декартовой системе координат, являющейся неподвижной (рис. 2.4), то есть заданы координаты точки как функции времени x=x (t), y=y (t), z=z (t).
Используя единичные векторы
осей x, y, z, определяем радиус-вектор:
(2.5)
и далее вектор скорости: , (2.6)
так как единичные векторы данной неподвижной системы координат постоянны.
Вектор скорости , как и любой вектор, можно также представить через его проекции, используя единичные векторы, то есть
.
Сравнивая два последних выражения, получаем, что проекции скорости на координатные оси будут равны
, (2.7)
то есть проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координаты.
Производную по времени в теоретической механике обозначают точкой сверху, поэтому можно еще записать ,
,
. (2.8)
Вектор скорости определяется модулем
(2.9)
и направлением, которое задается направляющими косинусами:
. (2.10)
Определение скорости
при естественном способе задания движения
Пусть точка М движется по некоторой кривой (рис. 2.5). За промежуток времени t точка перемещается из положения в положение
по дуге.
Дуга обозначается как
, а перемещение –
. Зная, что
,
запишем его в другом виде:
.
Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен по модулю единице, а предельное положение секущей (при
) совпадает с направлением касательной к кривой в точке
, то
,
где единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги (рис. 2.5).
Рассматривая второй предел получаем
. (2.11)
Обозначив , имеем
, где
проекция скорости на касательную.
Ускорение точки
Определение ускорения точки при векторном способе задания движения. Полагаем, что в момент времени t скорость равна а в момент времени
– соответственно
(см.рис. 2.6).
Изменение вектора скорости за промежуток времени
определяется как
.
Среднее ускорение определяем как отношение к
, то есть
.
Ускорение точки в данный момент времени есть предел отношения приращения скорости
к приращению времени
при
, стремящемся к нулю:
и так как то
Следовательно, ускорение точки равно первой производной по времени вектора скорости точки или второй производной по времени радиуса-вектора точки. Единицей измерения ускорения является м/с .
Определение ускорения при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:
x = x (t), y = y (t), z = z (t).
Ускорение точки определяется (2.13) как .
Вектор ускорения можно представить через его проекции .
Сравнивая два последних выражения, имеем
, (2.14)
то есть проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной от соответствующей проекции скорости.
Выражение (2.14), с учетом (2.8), можно представить в виде ,
,
.
Таким образом, проекция ускорения точки на какую-либо ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты.
Модуль ускорения определяется как ,
а направление задается направляющими косинусами:
.
Формулы (2.16), (2.17) полностью определяют вектор ускорения.
Определение ускорения при естественном способе задания движения. Прежде чем определить ускорение, введем некоторые понятия из дифференциальной геометрии. В каждой точке кривой можно указать три взаимно перпендикулярных направления – касательная, нормаль и бинормаль. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей .
Единичный вектор касательной
уже был введен. Единичный вектор нормали
направляем в сторону вогнутости кривой (рис. 2.7). Единичный вектор бинормали
направлен таким образом, чтобы единичные вектора
образовывали правую систему координат.
Векторы являются единичными векторами осей естественного трехгранника.
Согласно выражению (2.13) ускорение точки , а ее скорость
, следовательно,
Примем без доказательства, что ,
где радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.
Отсюда имеем .
Видно, что ускорение имеет две составляющие: и
,
направленные по
и
(рис. 2.8), первая из которых называется касательным ускорением, вторая нормальным ускорением.
Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.
Модуль ускорения равен .
Составляющие ускорения всегда взаимно перпендикулярны (рис. 2.8).
Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью. Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении точки.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 339 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!