Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задача 14

Найти производные первого порядка заданных функций:

14.1.

14.2.

,

14.3.

14.4.

14.5.

14.6.

14.7.

14.8.

14.9.

14.10.

Задача 15

Найти для заданных функций:

15.1.

15.2.

15.3.

15.4.

15.5.

15.6.

15.7.

15.8.

15.9.

15.10.

Задача 16

Используя геометрический или физический смысл производной, решить задачу:

16.1. а) В какой точке касательная к параболе у = – х ² + 7 х – 10перпендикулярна прямой х + у -1 = 0? Составить уравнение касательной. Сделать чертеж.

б) Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за время Т = 8 сек. Найти угловую скорость w в момент t = 32 сек после начала движения.

16.2. а) При каком значении независимой переменной касательные к кривым у = х ² и у = х ³ параллельны? Найти уравнения этих касательных. Сделать чертеж.

б) Тело массой т = 4 двигается прямолинейно по закону X = t²+ t+ 1. Определить кинетическую энергию тела в момент времени t = 5.

16.3. а) Под каким углом график функции у = пересекает прямую х = 2.

б) Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой скоростью изменяется объем и поверхность шара?

16.4. а) Под каким углом пересекаются кривые х ² – у ² = 5и ? Указание: под углом между кривыми понимают угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения.

б) Угол j, на который поворачивается колесо за t сек., равен j , где - положительные константы. Найти угловую скорость w движения колеса. Через сколько времени от начала движения угловая скорость будет равна нулю?

16.5. а) Показать, что отрезок касательной к астроиде , заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную .

б) В какой точке эллипса 16 х² + 9 у ² = 400 ордината убывает с той же скоростью, с какой возрастает абсцисса?

16.6. а) Какой угол образует с прямой у = 2 х - 3 касательная к параболе у = х ² - 3 х+ 5, проведенная в точке (2, 3)? Найти уравнение этой касательной. Сделать чертеж.

б) Барометрическое давление Ризменяется с высотой h по закону , где Р₀ - нормальное давление, с – некоторая постоянная. На высоте 5540 м давление равно половине нормального. Установите зависимость скорости изменения давления от высоты.

16.7. а) Найти уравнение касательной и нормали в точке (2; 2) к кривой, заданной параметрически уравнениями .

б) По оси абсцисс двигаются две точки, имеющие законы движения х= 100 +5t и х = 0,5 t, где t >0. С какой скоростью удаляются точки друг от друга в момент встречи?

16.8. а) Найти уравнение касательной к кривой у = х ² + 2 х - 1 в точке её пересечения с параболой у = 2 х ². Сделать чертеж.

б) Показать, что если тело движется по закону S = a e^-t + b e^-t , то его ускорение численно равно пройденному пути.

16.9. а) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у= х ² + 3 х - 10образует угол 135⁰ с положительным направлением оси ОХ. Найти уравнение этой касательной. Сделать чертеж.

б) Точка двигается прямолинейно по закону s = t ³ - 16 t ² + 64 t. Определить: 1) в какие моменты времени точка находилась в начале координат; 2) в какие моменты времени её скорость была равна нулю?

16.10. а) Написать уравнение касательной к кривой в точке (- , 0).

б) Точка двигается по гиперболе так, что ее абсцисса растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду. С какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положение (5;2)?

Задача 17

Исследовать функцию и построить ее график:

17.1.	17.2. у=
17.3. у= .	17.4.
17.5.	17.6.
17.7.	17.8.
17.9.	17.10.