Алгебра и геометрия

Задача 1.

Решить матричное уравнение относительно неизвестной матрицы Х, если А, В, С, D, E -заданные матрицы:

1.1. А·В + 2·СТ =3·Х	1.2. (В·Е)2 + С·А = 4·ХТ
1.3. D2 – 3·A·C = 2·XT	1.4. C·A - 2·BT = ·X
1.5. (B·C)T + 2·A = ·X	1.6. 4·(D·A)T + C = 4·X
1.7. 2·B2 + AT·CT = E·X	1.8. B·AT – 3·C = 5·X
1.9. (A·B)T – 3·C = X	1.10. (B – E)T = C·A + 2·X

Задача 2.

Доказать, что данная система линейных уравнений имеет единственное решение. Найти решение двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2) с помощью обратной матрицы. Сделать проверку.

2.1.	2.2.
2.3.	2.4.

2.5.	2.6.
2.7.	2.8.
2.9.	2.10.

Задача 3.

Методом исключения (методом Гаусса) исследовать совместность системы линейных уравнений и найти все ее решения.

3.1.	3.2.
3.3.	3.4.
3.5.	3.6.
3.7.	3.8.
3.9.	3.10.

Задача 4.

Дано комплексное число z. Требуется:

а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

б) найти все корни уравнения w ³ + z = 0 и изобразить их на комплексной плоскости.

4.1.	4.2.
4.3.	4.4.
4.5.	4.6.
4.7.	4.8.
4.9.	4.10.

Задача 5.

Используя свойства скалярного и векторного произведений векторов, упростить выражения, где ` i, `j, `k - взаимно ортогональные единичные векторы (орты), ` a,`b,`c - произвольные векторы.

Задача 6.

Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Найти:

1) длину ребра АВ;

2) угол между ребрами АВ и АС;

3) площадь грани АВС;

4) уравнения сторон треугольника АВС;

5) уравнения медианы, проведенной из вершины А треугольника АВС;

6) уравнение плоскости АВС;

7) угол между ребром АD и гранью АВС;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС;

9) объём пирамиды.

Сделать чертеж.

6.1. A(4,2,5), B(0,7,1), C(0,2,7), D(1,5,0)

6.2. A(4,4,10), B(7,10,2), C(2,8,4), D(9,6,9)

6.3. A(4,6,5), B(6,9, 4), C(2,10,10), D(7,5,9)

6.4. A(3,5,4), B(8,7,4), C(5,10,4), D(4,7,8)

6.5. A(10,6,6), B(-2,8,2), C(6,8,9), D(7,10,3)

6.6. A(1,8,2), B(5,2,6), C(5,7,4), D(4,10,9)

6.7. A(6,6,5), B(4,9,5), C(4,6,7), D(6,9,3)

6.8. A(7,2,2), B(5,7,7), C(5,3,1), D(2,3,7)

6.9. A(8,6,4), B(10,5,5), C(5,6,8), D(8,10,7)

6.10. A(7,7,3), B(6,5,8), C(3,5,8), D(8,4,1)

Задача 7

Составить уравнение линии, точки которой удовлетворяют указанным условиям. Определить вид линии и построить ее.

7.1. Расстояния каждой точки линии от точки А(6, 0) и от прямой 5 х +4 = 0 относятся, как 5:3.

7.2. Каждая точка линии вдвое ближе к прямой х = 1,чем к точке А(4, 4).

7.3. Каждая точка линии равноудалена от точки А(3,-2) и прямой х – 1 = 0.

7.4. Отношение расстояний точек линии до точки А(1, 0) к расстояниям до прямой 2 х + 1 = 0 равно 2.

7.5. Сумма квадратов расстояний точек линии от точек А(-2, 0), В(0, 2) и С(2, 0) постоянна и равна 12

7.6. Каждая точка линии находится втрое ближе к точке А(2, 0), чем к точке В(6, 0).

7.7. Расстояние каждой точки линии от точки А(4 ,-4) вдвое больше расстояния от точки В(,-1).

7.8. Расстояния точек линии до точки А(-4, 0) и до прямой 6 х + 13 = 0 относятся, как 6:5.

7.9. Каждая точка линии в два раза ближе к точке А(1, 0), чем к точке В(5, 0).

7.10. Каждая точка линии находится втрое ближе к началу координат, чем к точке А(-4, 0).

Задача 8.

Заданы уравнение линии, лежащей в координатной плоскости, и точка А. Требуется:

1) составить уравнение поверхности, образованной вращением этой линии вокруг оси ОХ (для четных вариантов) или вокруг оси ОУ (для нечетных вариантов);

2) подобрать значение параметра р так, чтобы точка А лежала на этой поверхности;

3) сделать схематический чертеж поверхности.

8.1. 5 y ² + pz ² = 25, A(1;2;1)

8.2. 5 px ² + z ² = 10 p, A(-1;1;2)

8.3. x ² = pу + 1, A(2;-4;1)

8.4. pz ² = px + 1, A(1;-2;-1)

8.5. z ² = y + p, A(-1,3,1)

8.6. pz ² = x, A(26;3;2)

8.7. y ² + px ² = 10, A(2;0;1)

8.8. 2 pz ² - x ² = 9, A(1;2;-1)

8.9. 5 py ² + x ² = 10 p, A(2;-1;1)

8.10. px = py ² + 1, A(-1;1;-2)

Задача 9.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А:

9.1.	9.2.
9.3.	9.4.
9.5.	9.6.
9.7.	9.8.
9.9.	9.10.