Постоянная емкость

Представим себе резервуар неизменной вместимости V, заполненный газом, который принимает в резервуар в единицу времени в количестве и в то же время вытекает из него в количестве (рис.5).

На эти расходы газа можно влиять посредством задвижек 1 и 2. При установившемся движении газа

(16)

Путем воздействия на распределительные органы нарушим равенство расходов (16). Тогда согласно закону сохранения материи

,

(17)

где – удельный вес газа

Рисунок 5 Схема аккумулятора газа с постоянным объемом

Разделив обе части (17) на и вычитая получено (16) из (17), получим:

,

(18)

где

Выберем в качестве параметра, характеризующего состояние газа в аккумуляторе, давление . Предположим, что во время неустановившегося процесса состояние газа в резервуаре изменяется политропно, то есть:

,

(19)

где n – показатель политропы.

После дифференцирования (19) найдем:

.

(19)

В уравнение (20) левую и правую часть разделим на , подставим и разложим в ряд (бином Ньютона) выражение:

Тогда .

Рассматривая колебания малыми, считаем что величина малая, а произведение величиной второго порядка малости. Поэтому, отбросив величины второго и высшего порядка малости, последнее уравнение запишем так:

.

(21)

В (18) введем вместе и обозначим D₀ вес газа в данном резервуаре, то есть положим .

Тогда

.

(22)

Предположим, что расходы газа G₁ и G₂ можно представить в виде следующих функций:

где и – координаты, определяющие положения распределительных органов 1 и 2 (рис. 5). При этом давление до задвижки 1 и после задвижки 2 считаем неизменным. Тогда для малых колебаний имеем:

,

(23)

.

(24)

Подставив (23) и (24) в (22) и представив переменные в относительных единицах, получим уравнение газового объема в форме:

,

(25)

где ; ; ; ; ; .

Динамическая постоянная имеет положительное значение так как и .

Динамические постоянные , и имеют размерность времени и называются временами емкости.

Количество газа, поступающего в резервуар и вытекающего из него, может зависеть от дополнительных параметров по сравнению с принятыми в уравнениях (23) и (24). Так, например, давление перед задвижкой 1 может изменятся , а тогда .

В этом случае в уравнении емкости появится дополнительный член с переменной Р₁.

Допустим, что во всем диапазоне изменений расход G₁ линейно зависит от координаты m₁. Тогда при n=1 константа приобретает смысл времени заполнения объема при полностью открытой задвижки 1 и закрытой задвижки 2, если во время заполнения расход условно считать неизменным и равным расходу для давления установившегося режима. Аналогичное условное толкование можно дать константе .

Так же как для ротора в предыдущем параграфе, умножим обе части уравнения (25) на R и запишем это уравнение в операторной форме:

или

(26)

где ; ; .

Коэффициенты и не содержат емкости и носят статический характер.