Теоремы умножения и сложения вероятностей

Под произведением случайных событий и понимают случайное событие, заключающееся в том, что в результате испытания произойдёт и событие и событие .

Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается .

Событие называется независимым от события , если его вероятность не меняется от того, произошло событие или нет, т.е.

.

Теорема (умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

. (8)

Теорема умножения легко обобщается на случай произвольного числа событий:

.

Если события и независимы, то теорема умножения принимает вид:

. (9)

Под суммой двух случайных событий и понимают случайное событие, заключающееся в том, что в результате испытания произойдёт хотя бы одно из них (либо событие , либо событие , либо оба вместе).

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения

. (10)

В частном случае, когда события и несовместны, формула (10) упрощается:

. (11)

Например, сумма вероятностей противоположных событий равна единице как вероятность достоверного события:

.

Пример 12. Проводится зачёт по математике. Студенты получают зачёт, если сразу правильно ответят на два поставленных вопроса. Студент Иванов знает 25 вопросов из 30. Какова вероятность того, что он получит зачёт?

Решение. Введём в рассмотрение события: Иванов знает ответ на первый вопрос, знает ответ на второй вопрос, студент Иванов получит зачёт. Очевидно, что . Тогда по теореме умножения (8)

.

На зачёт вынесено 30 вопросов, из которых 25 Иванов знает. По классическому определению вероятности, считая 30, 25, находим

.

При условии, что студент знал первый вопрос, определим вероятность того, что он знает ответ на второй. Теперь осталось 29 вопросов, из которых он знает только 25-1=24. Тогда 29, 24 и

.

Отсюда искомая вероятность равна

0,69.

Пример 13. В магазине «Электроника» к началу рабочего дня имеется 15 телевизоров марки «Сони», 10 телевизоров – марки «Самсунг», 25 телевизоров – марки «Филипс».

В течение часа было продано 3 телевизора. Найти вероятность того, что среди них нет телевизоров марки «Сони».

Решение. Обозначим через событие, что й по порядку купленный телевизор не марки «Сони» ( 1,2,3), а через среди трёх купленных телевизоров нет телевизоров марки «Сони». Тогда . По теореме умножения имеем

.

Так как в начале дня в магазине 50 телевизоров, а телевизоров не марки «Сони» из них 35, то воспользовавшись классическим определением вероятности и считая 50, 35, найдем вероятность того, что первый купленный телевизор не марки «Сони»: .

При условии, что первый купленный телевизор не является маркой «Сони», снова воспользуемся классическим определением вероятности, считая, что телевизоров осталось =49, из них не марки «Сони» - 34. Поэтому вероятность того, что второй купленный телевизор не марки «Сони» при условии, что первый не этой же марки, равна

.

Аналогично,

.

В итоге искомая вероятность равна

= 0.334.

Пример 14. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишени будут три пробоины?

Решение. Обозначим события: попадание в мишень го стрелка (); в мишени три пробоины. Тогда , при этом события - независимы, так как точность попадания стрелков не зависит от того, как стреляют другие стрелки.

По формуле (9) для независимых событий получаем

0,504.

Пример 15. Определить вероятность того, что наудачу выбранное целое положительное число не делится на 2 или на 3.

Решение. Пусть событие число не делится на 2, а событие число не делится на 3. Тогда искомая вероятность найдется по формуле (10).

Очевидно, что , а . Но события и независимые и . Отсюда

.

Пример 16. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 2-х проверяемых изделий только одно стандартное.

Решение. Обозначим события: первое изделие стандартное, второе изделие стандартное. Тогда событие, когда из двух изделий только одно стандартное запишется в виде суммы: . События являются независимыми, а события и несовместными. В итоге с использованием формул (11) и (8) имеем:

.

Пример 16. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочнике равны 0,6; 0,7; 0,8 соответственно. Найти вероятность того, что формула содержится:

А) только в одном справочнике;

Б) только в 2-х справочниках;

В) хотя бы в одном справочнике.

Решение. Пусть событие формула содержится в м справочнике, .

А). Событие, состоящее в том, что формула содержится только в одном справочнике, может быть представлено через события в виде суммы следующих произведений:

.

Тогда с учётом того, что события независимые, а события , , несовместные, с использованием формул (11) и (8) получим:

0.188.

Б). Событие, состоящее в том, что формула содержится только в двух справочниках, может быть представлено в виде:

.

Тогда аналогично предыдущему заданию

0,452.

В). Это задание проще выполнить, если прибегнуть к противоположному событию. Противоположным к событию, состоящее в том, что формула содержится хотя бы в одном справочнике, является событие, состоящее в том, что формулы нет ни в одном справочнике. Обозначим его символом . Тогда событие можно представить так: . Вначале находим вероятность события :

0,024.

Далее определяем вероятность искомого события

0,976.