![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:
(1)
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
.
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
.
Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
§3.Кривые второго порядка.
Уравнение вида
Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Ey + F = 0,
где хотя бы одна из трех величин А, В или С не равна нулю, называется уравнение второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением – линией второго порядка.
Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
1) - уравнение эллипса.
2) - уравнение “мнимого” эллипса.
3) - уравнение гиперболы.
4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.
5) y2 = 2px – уравнение параболы.
6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.
7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.
8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых.
9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.
Окружность.
Определение. Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии, называемом радиусом, от фиксированной точки, называемой центром окружности.
Выведем уравнение окружности радиуса R с центром в точке С(х0, у0). Для любой точки М(х, у) окружности имеем СМ = R или СМ2 = R2. Отсюда и получаем уравнение окружности:
(х — х0)2 + (у — у0)2 = = R2. (3.1)
Если центр окружности расположен в начале координат, т.е. х0 – 0, у0= 0, то уравнение окружности имеет простейший вид и называется каноническим:
x2 + y2 = R2. (3.2)
Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:
2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.
Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:
Эллипс.
Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 а.
у
М
r1
r2
F1 O F2 х
F1, F2 – фокусы. F1 = (-c; 0); F2(c; 0)
Для любой точки М(х, у) эллипса расстояния до фокусов есть
По определению эллипса r1 + r2 = 2a
После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:
Если а = с, то последнее уравнение дает у = 0 — уравнение отрезка [F1, F2]. Если же а > с, то, обозначив а2 - с2 = b2 (а < с < b) и разделив на а2b2, получим каноническое уравнение эллипса
, (3.3)
при этом а2 - с2 = b2.
с – половина расстояния между фокусами;
a – большая полуось;
b – малая полуось.
Согласно этому уравнению, эллипс симметричен относительно осей координат. Положительные числа a, b называются большой и малой полуосями эллипса.
Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.
е = с/a. (3.4)
Т.к. с < a, то е < 1.
При е = 0 имеем: а = b, с = 0 и эллипс превращается в окружность радиуса а. При е = 1 имеем: а = с, b = 0 и эллипс вырождается в отрезок [F1, F2].
Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если
, то точка находится вне эллипса.
Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:
r1 = a – ex, r2 = a + ex.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:
1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.
2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F 1(0; 0), F2 (1; 1), большая ось равна 2.
Гипербола.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
y
M(x, y)
b
r1
r2
x
F1 a F2
c
По определению ï r1 – r2 ï= 2 a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.
Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:
обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)
(3.5)
Получили каноническое уравнение гиперболы.
Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.
Ось 2 а называется действительной осью гиперболы.
Ось 2 b называется мнимой осью гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых (3.6)
Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.
С учетом того, что с2 – а2 = b2:
Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).
Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса
.
Для эллипса: c2 = a2 – b2.
Для гиперболы: c2 = a2 + b2.
Уравнение гиперболы: .
Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением
Парабола.
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.
у
А М(х, у)
О F x
p/2 p/2
Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.
Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;
MF2 = y2 + (x – p/2)2
(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2
x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4
y2 = 2px (3.7)
Уравнение директрисы: x = -p/2, координаты фокуса F(p/2;0), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Ох, ветви параболы направлены в положительном направлении оси Ох ( вправо ).
Пучок лучей с источником, расположенном в фокусе, после отражения от параболы обратится в параллельный пучок лучей. На этом принципе построены параболические зеркальные антены.
В зависимости от выбора положения точки начала отсчета и осей координат относительно фокуса и директрисы можно получить еще три канонических уравнения параболы:
y2 = -2px: координаты фокуса F(-p/2;0), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Ох, ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Ох (влево).
х2 = 2pу: координаты фокуса F(0;p/2), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Оу, ветви параболы направлены в положительном направлении оси Оу (вверх).
х2 = -2pу: координаты фокуса F(0;-p/2), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – ось Оу, ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Оу (вниз).
Однако чаще приходится иметь дело с обычным уравнением параболы, известным из школы:
y = ax2+ bx + c (3.8), где a, b,c – параметры параболы. Графики при различных значениях этих параметров:
Y
a < 0
O X
Y
![]() | ![]() | ![]() |
O X
a > 0
Обычно для построения графика параболы используют несколько ключевых моментов: корни, ось симметрии, вершина параболы, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы и т.п. Предполагается, что нахождение этих ключевых моментов из уравнения параболы
Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4.
r = x + p/2 = 4; следовательно:
x = 2; y2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M1 (2; 4), M2 (2; -4).
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1502 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!