Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

(5.1)

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0; 0;... 0).

Если в системе (5.1) m=n и D¹0, то она имеет только одно нулевое решении (это следует из теоремы и формул Крамера).

Теорема. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестных, т.е. при r(А)< n.

Следствие 1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение.

Следствие 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Обозначим решение системы (5.1) x₁=k₁, x₂=k₂,..., x_n=k_n в виде вектора I=(k₁, k₂,..., k_n).

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если вектор I=(k₁, k₂,..., k_n) – решение системы (5.1), то и вектор l I=(lk₁, lk₂,..., lk_n) – также решение этой системы.
2. Если векторы I₁=(k₁, k₂,..., k_n) и I₂=(l₁, l₂,..., l_n) – решения системы (5.1), то при любых с₁ и с₂ их линейная комбинация c₁I₁+c₂I₂=(c₁k₁+c₂l₁; c₁k₂+c₂l₂;...; c₁k_n+c₂l_n) – также решение данной системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Поэтому целесообразно найти такие линейно независимые решения системы (5.1) (F₁, F₂,...F_k), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

Определение. Система линейно независимых решений F₁, F₂,...F_k называется фундаментальной, если каждое решение системы (5.1) является линейной комбинацией решений F₁, F₂,...F_k.

Теорема. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений (5.1) меньше числа неизвестных n, то всякая ее фундаментальная система решений состоит из k = n – r решений.

Поэтому общее решение системы (5.1) линейных однородных уравнений имеет вид:

I = c₁F₁+c₂F₂+... + c_kF_k,

где F₁, F₂,...F_k – любая фундаментальная система решений; c₁, c₂,... c_k – произвольные числа и k = n – r.

Для нахождения фундаментальной системы решений предположим, что ранг системы равен r< n. Тогда базисные неизвестные этой системы (пусть, для определенности, это переменные x₁, x₂,...x_r) линейно выражаются через свободные переменные x_r+1, x_r+2,...x_n. Тогда вектор F₁ фундаментальной системы решений получим, если придадим значения свободным переменным x_r+1 = 1, x_r+2=...=x_n=0. Затем находим второе решение F₂, принимая x_r+2 = 1, x_r+1=...=x_n=0. Продолжаем аналогично находить все векторы фундаментальной системы, последовательно присваивая каждой свободной переменной единичное значение, положив остальные нулями.

Пример. Найти решение и фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений: