Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 и называется нормальным вектором этой прямой.

Пусть имеем следующие начальные условия относительно некоторой прямой: известна точка M₀(x₀, y₀) принадлежащая этой прямой и ее нормальный вектор =(А, В).

Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей прямой, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен прямой, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

× = 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

(2.2)

Из уравнения (2.2) легко получить общее уравнение прямой (2.1), раскрыв скобки и обозначив D = -Ax₀ – By₀.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

· C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0: Ах + Ву = 0 – уравнение прямой, проходящей через начало координат;

· А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0: By + C = 0- уравнение прямой, параллельной оси Ох;

· В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0: Ax + C = 0 – уравнение прямой, параллельной оси Оу;

· В = С = 0, А ¹ 0: Ах = 0 (х = 0) – уравнение координатной оси Оу;

· А = С = 0, В ¹ 0: By = 0 (y = 0) – уравнение координатной оси Ох.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С, подставим в полученное выражение координаты заданной точки M:

3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого, искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.