Система m линейных уравнений с n переменными

Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (Гл.2 §5). Поэтому, если строкирасширенной матрицы А^*, т.е. уравнения системы (1.1), линейно независимы, то ранг матрицы А^* равен числу ее уравнений, т.е. r=m; если линейно зависимы - то r < m.

Вопрос о разрешимости системы (1.1) в общем виде рассматривается в следующей теореме:

Теорема Кронекера – Капелли.

(условие совместности системы)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система линейных уравнений совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

r(A) = r(A^*).

Очевидно, что система (1.1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А^* не изменяют ранга.

2) Если r(A) = r(A^*), то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, т.е. верна запись, приведенная выше.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1.1) имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r < n, то система (1.1) неопределенная и имеет бесчисленное множество решений.

Результаты исследования системы (1.1) приведем в виде схемы:

Пример1. Определить совместность системы линейных уравнений:

Пример2. Определить совместность системы линейных уравнений.

Пример3. Определить совместность системы и в случае совместности, решить: