 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Постановка задачи. Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
|
|
Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать в виде:
, (5.1)
где 
– независимая переменная, 
‑ 
-ая производная от искомой функции, 
– порядок уравнения. Общее решение ОДУ -го порядка содержит произвольных постоянных 
, т.е. общее решение имеет вид 
.
Для выделения единственного решения необходимо задать дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.
Ясно, что при 
можно говорить только о задачи Коши.
Примеры постановки задачи Коши:
;
.
Примеры краевых задач:
.
Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений, поэтому применение приближенных методов решения является необходимостью.
Приближенные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка
Требуется найти решение y (x) ОДУ первого порядка
(5.2)
на отрезке 
при условии
. (5.3)
Приближенное решение будем искать в узлах расчетной сетки 
с шагом 
. Необходимо найти приближенные значения в узлах сетки yi = y (xi). Результаты расчетов занесем в таблицу
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| … | 
|
Интегрируя уравнение на отрезке 
, получим
. (5.4)
Для того, чтобы найти все значения , нужно каким-то образом вычислить интеграл, стоящий в правой части (5.4). Применяя различные квадратурные формулы, будем получать методы решения задачи (5.2), (5.3) разного порядка точности.
Метод Эйлера
Если для вычисления интеграла в (5.4) воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка
,
то получим явную формулу Эйлера:
, 
. (5.5)
Явный метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. Реализация метода. Поскольку 
известны, применяя (5.5) последовательно, определим все yi: 
, 
, ….
Геометрическая интерпретация метода Эйлера (рис. 5.1.):
Пользуясь тем, что в точке 
известно решение 
и значение его производной 
, можно записать уравнение касательной к графику искомой функции 
в точке 
: 
. При достаточно малом шаге 
ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения 
, должна мало отличаться от ординаты 
решения 
задачи Коши. Следовательно, точка 
пересечения касательной с прямой 
может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую 
, которая приближенно отражает поведение касательной к в точке 
. Подставляя сюда 
(т.е. пересечение с прямой 
), получим приближенное значение в точке 
: и т.д. В итоге для -ой точки получим формулу Эйлера.
Рис. 5.1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера
Если в (5.4) использовать формулу правых прямоугольников: 
, то получим неявный метод Эйлера
, . (5.6)
Этот метод называют неявным, поскольку для вычисления неизвестного значения 
по известному значению 
требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное. Неявный метод Эйлера также имеет первый порядок аппроксимации.
Модифицированный метод Эйлера
В данном методе вычисление 
состоит из двух этапов:
,
. (5.7)
Данная схема называется также методом предиктор-корректор. Это английское название, означающее «предсказать-исправить». Действительно, на первом этапе приближенное значение предсказывается с первым порядком точности, а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.
Решение
Дано: f=y/x-8/x2, φ=2, u(x)=4/x, [ 2,5 ]
u(2)=4/2=2= φ.
Решим с помощью модифицированного метода Эйлера, вычисления оформим в виде таблицы: при N=10
Расчетные формулы:
)
Аналогично для N=20
)
Вывод: для данной функции наиболее точным оказался модифицированного метода Эйлера при N=20.
Часть 3.Численые методы решения краевой задачи для ОДУ 2-го порядка.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 269 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
