Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Постановка задачи. Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)



Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать в виде:

, (5.1)

где – независимая переменная, -ая производная от искомой функции, – порядок уравнения. Общее решение ОДУ -го порядка содержит произвольных постоянных , т.е. общее решение имеет вид .

Для выделения единственного решения необходимо задать дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

Ясно, что при можно говорить только о задачи Коши.

Примеры постановки задачи Коши:

;

.

Примеры краевых задач:

.

Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений, поэтому применение приближенных методов решения является необходимостью.

Приближенные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Требуется найти решение y (x) ОДУ первого порядка

(5.2)

на отрезке при условии

. (5.3)

Приближенное решение будем искать в узлах расчетной сетки с шагом . Необходимо найти приближенные значения в узлах сетки yi = y (xi). Результаты расчетов занесем в таблицу

Интегрируя уравнение на отрезке , получим

. (5.4)

Для того, чтобы найти все значения , нужно каким-то образом вычислить интеграл, стоящий в правой части (5.4). Применяя различные квадратурные формулы, будем получать методы решения задачи (5.2), (5.3) разного порядка точности.

Метод Эйлера

Если для вычисления интеграла в (5.4) воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

,

то получим явную формулу Эйлера:

, . (5.5)

Явный метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. Реализация метода. Поскольку известны, применяя (5.5) последовательно, определим все yi: , , ….

Геометрическая интерпретация метода Эйлера (рис. 5.1.):

Пользуясь тем, что в точке известно решение и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в точке : . При достаточно малом шаге ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты решения задачи Коши. Следовательно, точка пересечения касательной с прямой может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда (т.е. пересечение с прямой ), получим приближенное значение в точке : и т.д. В итоге для -ой точки получим формулу Эйлера.

Рис. 5.1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Если в (5.4) использовать формулу правых прямоугольников: , то получим неявный метод Эйлера

, . (5.6)

Этот метод называют неявным, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное. Неявный метод Эйлера также имеет первый порядок аппроксимации.

Модифицированный метод Эйлера

В данном методе вычисление состоит из двух этапов:

,

. (5.7)

Данная схема называется также методом предиктор-корректор. Это английское название, означающее «предсказать-исправить». Действительно, на первом этапе приближенное значение предсказывается с первым порядком точности, а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.

Решение

Дано: f=y/x-8/x2, φ=2, u(x)=4/x, [ 2,5 ]

u(2)=4/2=2= φ.

Решим с помощью модифицированного метода Эйлера, вычисления оформим в виде таблицы: при N=10

Расчетные формулы:

)

Аналогично для N=20

)

Вывод: для данной функции наиболее точным оказался модифицированного метода Эйлера при N=20.

Часть 3.Численые методы решения краевой задачи для ОДУ 2-го порядка.





Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 255 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...