Формула трапеций

Во всех рассмотренных формулах площадь криволинейной трапеции заменялась на площадь прямоугольников.

В методе трапеций криволинейная трапеция заменяется на прямоугольную (рис. 4.3), площадь которой вычисляется по известным формулам: .

Рис. 4.3. Метод трапеций

Формула трапеций может быть также получена путем замены подынтегральной функции интерполяционным полиномом первой степени:

.

Действительно

.

Тогда для всего отрезка получим:

.

Можно показать, что формула трапеций совпадает с формулой средних для таблично заданной функции и также имеет второй порядок точности.

Формулу трапеций можно также записать в виде:

.

Решение

Задана исходная функция и интервал [-1;1], , =0,1..N, h=(b-a)/N.

1.Вычислим точное значение интеграла

2,718282-0,367879=2,350402

2.Вычисление с помощью метода прямоугольников и трапеции

При N=10 h=0,2

=0,22721

=0,24287

=0,00391

=0,00783

=2,123192

=2,593272

=2,34649

=2,358232

Для нахождения интеграла методом левых прямоугольников, необходимо просуммировать элементы третьего ряда в диапазоне и умножить на шаг . Аналогично для формулы правых прямоугольников, суммировать в диапазоне . Сумма элементов пятого столбца, помноженная на шаг, даст результат по формуле средних прямоугольников. Согласно формуле трапеций, необходимо к полусумме первого и последнего значения элементов третьего столбца добавить сумму всех остальных членов этого столбца, и умножить результат на шаг .

-формула левых прямоугольников,

-формула правых прямоугольников,

-формула средних прямоугольников,

-формула трапеции.

При N=20 h=0,1

=0,11556139

=0,119478849

=0,000978661

=0,00195873

=2,23484061

=2,469880849

=2,349423339

=2,35236073

Вывод: для данной функции на интервале [-1;1] наиболее точной является формула средних прямоугольников с погрешностью при n=10 равной 0,00391и при n=20 равной 0,000979

Часть 2.Численые методы решения задачи Коши для ОДУ.