![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Во всех рассмотренных формулах площадь криволинейной трапеции заменялась на площадь прямоугольников.
В методе трапеций криволинейная трапеция заменяется на прямоугольную (рис. 4.3), площадь которой вычисляется по известным формулам: .
Рис. 4.3. Метод трапеций
Формула трапеций может быть также получена путем замены подынтегральной функции интерполяционным полиномом первой степени:
.
Действительно
.
Тогда для всего отрезка получим:
.
Можно показать, что формула трапеций совпадает с формулой средних для таблично заданной функции и также имеет второй порядок точности.
Формулу трапеций можно также записать в виде:
.
Решение
Задана исходная функция и интервал [-1;1],
,
=0,1..N, h=(b-a)/N.
1.Вычислим точное значение интеграла
2,718282-0,367879=2,350402
2.Вычисление с помощью метода прямоугольников и трапеции
При N=10 h=0,2
=0,22721
=0,24287
=0,00391
=0,00783
=2,123192
=2,593272
=2,34649
=2,358232
Для нахождения интеграла методом левых прямоугольников, необходимо просуммировать элементы третьего ряда в диапазоне и умножить на шаг
. Аналогично для формулы правых прямоугольников, суммировать в диапазоне
. Сумма элементов пятого столбца, помноженная на шаг, даст результат по формуле средних прямоугольников. Согласно формуле трапеций, необходимо к полусумме первого и последнего значения элементов третьего столбца добавить сумму всех остальных членов этого столбца, и умножить результат на шаг
.
-формула левых прямоугольников,
-формула правых прямоугольников,
-формула средних прямоугольников,
-формула трапеции.
При N=20 h=0,1
=0,11556139
=0,119478849
=0,000978661
=0,00195873
=2,23484061
=2,469880849
=2,349423339
=2,35236073
Вывод: для данной функции на интервале [-1;1] наиболее точной является формула средних прямоугольников с погрешностью при n=10 равной 0,00391и при n=20 равной 0,000979
Часть 2.Численые методы решения задачи Коши для ОДУ.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 352 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!