Трение гибких тел

Рассмотрим идеально гибкое и нерастяжимое тело, т.е. тело, совершенно не деформирующееся под действием растягивающей силы и не оказывающее никакого сопротивления при его перегибе, которое огибает неподвижный цилиндр. Охват цилиндра происходит по дуге ab с центральным углом a (рис. 17.1). На тело действуют силы S ₁ и S ₂, для движения его по цилиндру с равномерной скоростью необходимо соблюдение условия

,

где F – сила трения между гибким телом и цилиндром.

Рис. 17.1

Так как сила трения распределена на дуге ab соприкосновения гибкого тела с цилиндром, то натяжение гибкого тела от точки a набегания его на цилиндр до точки b сбегания его с цилиндра возрастает по некоторому закону от S ₂ до S ₁. В точке с бесконечно малой дуги cd натяжение достигает некоторой величины S, в точке d натяжение увеличивается до S + dS.

Бесконечно малая сила трения на дуге cd, обуславливающая увеличение натяжения на величину dS и поэтому равная dS, может быть выражена следующим образом:

,

где f – коэффициент трения; dRⁿ – бесконечно малая сила, нормальная к поверхности трения.

Величина силы dRⁿ создается проекциями натяжений S и S + dS на радиус, проведенный в середину дуги cd:

.

Так как и , как член высшего порядка малости, то

;

.

Разделив, получаем

.

Интегрируя, а затем, дифференцируя, получаем

;

;

;

.

Зависимость между силой S ₁, движущей идеально гибкое и нерастяжимое тело, охватывающее цилиндр, и силой S ₂, сопротивляющейся движению была получена Л. Эйлером.

На основании формулы Эйлера сила трения на поверхности соприкосновения гибкого тела и охватываемого им цилиндра равна

.

Анализируя формулу, видим, что величина силы трения в значительной степени зависит и от коэффициента трения и от угла охвата: при f = 0,35 обмотав гибкое тело вокруг цилиндра на два полных оборота (a = 4p), силой 10 Н, можно уравновесить силу 800 Н.

Трение качения

При перекатывании одного тела, имеющего криволинейную поверхность, по другому телу с плоской или криволинейной поверхностью возникает сопротивление, которое называется трением второго рода или трением качения. Сопротивление перекатыванию зависит от упругих свойств материалов соприкасающихся тел, кривизны их поверхностей и величины нормальной силы, действующей между телами.

Пусть на плоскости лежит цилиндр, вес которого G (рис. 17.2, а). Так как цилиндр и плоскость не являются абсолютно твёрдыми телами, то в зоне их соприкосновения под действием силы G образуется некоторая площадка смятия АВ. Согласно теории упругости Герца, в зоне площадки смятия напряжения распределяются по эллиптическому закону. Равнодействующая этих напряжений Rⁿ будет равна по величине и противоположна по направлению силе G и действует по одной линии с нею.

Рис. 17.2

Если цилиндр не будет находиться в статическом состоянии, то закон распределения напряжений изменится: на участке СВ контактной площадки напряжения будут больше, нежели на участке АС (рис. 17.2, б). Участок СВ называется зоной нарастающих деформаций, а участок АС – зоной исчезающих деформаций. Зона исчезающих деформаций является результатом гистерезиса, т.е. сохранения части деформаций и после того, как исчезла причина, вызвавшая эту деформацию.

Равнодействующая напряжений всей контактной площадки, равная внешней нагрузке G, будет смещена за вертикальную ось симметрии цилиндра на некоторую величину k. Эту величину называют коэффициентом трения качения.

Для перекатывания тела необходимо преодолеть момент трения равный:

.

Если на цилиндр действует внешняя сдвигающая горизонтальная сила Р, приложенная по центру цилиндра, то для преодоления момента трения необходимо приложить момент

,

откуда внешняя сдвигающая сила

.

Отношение k/R можно рассматривать как приведенный коэффициент трения .

Если между телами сцепление недостаточно, то возможно появление скольжения

., т.е. или .

Таким образом, при тело будет катиться без скольжения, в противном случае тело будет скользить без качения. При будет одинаковая возможность и качения и скольжения.