Геометрия до Евклида

ГЕОМЕТРИЯ ОТ ЕВКЛИДА ДО ЛОБАЧЕВСКОГО

Геометрия до Евклида

1. Первые сведения о геометрии были добыты цивилизациями Древнего Востока 0 в Египте, Вавилоне, Китае, Индии - в связи с развитием земледелия. Дошедшие до нас памятники древнейших культур Вавилона и Египта свидетельствуют о том, что в этих странах геометрия имела эмпирический характер и представляла собой собрание частных решений отдельных задач. Так, во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислять площадь треугольника и объем четырехугольной усеченной пирамиды; площадь S круга радиуса R вычисляли по формуле , что дает для достаточно точное значение: .

В Вавилоне, как и в Египте, геометрия развивалась на основе практических задач измерений. Уже во II тысячелетии до н.э. вавилоняне знали так называемую теорему Пифагора. Отметим, что в математике Древнего Востока (Вавилон и Египет) мы не находим никаких доказательств, а только конкретные правила.

2. Геометрия в Древней Греции начала развиваться в VII – VI вв. до н.э. под сильным влиянием египтян. По преданию, отцом греческой математики является представитель так называемой милетской школы, знаменитый философ Фалес (640 – 548 гг. до н.э.) из греческого города-государства Милета. Согласно дошедшим до нас преданиям Фалесу принадлежат доказательства некоторых простейших предложений геометрии – свойства углов при основании равнобедренного треугольника, свойства вертикальных углов и некоторых других теорем. В дальнейшем геометрами Древней Греции были получены значительные результаты, охватывающие почти все содержание современных школьных курсов геометрии.

В философской школе Пифагора (около 570 – 471 гг. до н.э.) математика занимала господствующее положение. Считается, что последователи этой школы – пифагорейцы – открыли теорему о сумме углов треугольника, дали доказательство теоремы Пифагора, установили существование пяти типов правильных многогранников, существование несоизмеримых отрезков (их открыл ученик Пифагора - Гиппас).

Демокрит (около 470 – 370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс (около 410 – 356 гг. до н.э.) – создатель геометрической теории пропорций, заменявшей грекам теорию иррациональных чисел, которых греки не знали. Евдокс открыл также метод исчерпывания: «Если от величины А отнять А или больше, с остатком проделать то же и т.д., то можно получить такую величину, которая меньше любой, наперед заданной». Этим методом Евдокс находил объемы пирамид, конуса и шара. Ученик Евдокса – Менехм – открыл конические сечения, которые затем обстоятельно изучил Аполлоний (256 – 170 гг. до н.э.). Архимеду (287 – 212 гг. до н.э.) принадлежит открытие правил для вычисления площади поверхности шара и некоторых других фигур и объемов ряда тел. Он нашел приближение для числа ().

Особой заслугой древнегреческих ученых является постановка задачи о построении системы геометрических знаний и решение ее проблемы в первом приближении. Задача эта была поставлена рядом древнегреческих философов, из которых в первую очередь следует указать Платона (около 429 – 348 гг. до н.э.) и особенно Аристотеля (около 381 – 322 гг. до н.э.). Аристотель – крупнейший философ древности, основатель формальной логики. Хотя он непосредственно и не занимался геометрией, но именно ему принадлежат четко оформленные идеи построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из других на основе одних лишь правил логики.

Начала “Евклида

К концу III в. до н.э. греки имели большой запас геометрических фактов и обладали методами их доказательств. В это время возникла задача собрать этот геометрический материал и расположить его в логическом порядке. Такую задачу пытались решить многие греческие авторы (Гиппократ, Федий и др.), но их сочинения не дошли до нашего времени и были забыты после появления «Начал» Евклида.

1. Евклид, один из крупнейших геометров древности, воспитанник школы Платона, жил в период приблизительно от 330 до 275 г. до н.э. в Египте, в Александрии. Подробные достоверные биографические сведения о Евклиде до нас не дошли. Известно, что расцвет его деятельности приходится на первые годы III в. до н.э. Составленные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненное с таким большим мастерством, что многие века преподавание геометрии велось по этому сочинению.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг (т.е. глав). Первые 6 книг содержат изложения планиметрии; в книгах I, III,и IV даны известные нам из курса средней школы свойства треугольников, теория параллельных прямых, теорема Пифагора, свойства окружностей и вписанных и описанных многоугольников. В книге II даны в геометрической форме алгебраические тождества. В книге V изложена теория по Евдоксу, а в книге VI - теория подобия фигур. Книги VII, VIII и IX посвящены арифметике в геометрическом изложении. В книге X дана теория несоизмеримых величин. Книги XI – XIII посвящены основаниям стереометрии, причем вся XIII книга посвящена учению а правильных многогранниках.

Многое из того, что было известно по геометрии во времена Евклида (например, теория конических сечений, кривые высших порядков), не изложена в «Началах».

Каждая книга начинается с определения всех тех понятий, которые в ней встречаются. Так, в начале книги I даны 23 определения. Приведем первые из них.

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

5. Поверхность ест то, что имеет только длину и ширину.

6. Границы поверхности суть линии.

7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

Затем Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, которые он разделяет на постулаты и аксиомы.

Постулаты.

I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую.

II. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

III. И чтобы от любого центра можно провести окружность.

IV. И чтобы все прямые углы были равны.

V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы.

I. Равные порознь третьему равны между собой.

II. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

......................................................

VI. И совмещающиеся равны.

В чем заключается различие между постулатами и аксиомами, остается неясным; на этот счет существует много разных мнений, ни одно из них не может быть признано окончательно.

Только Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их в такой последовательности, чтобы каждую теорему можно было бы доказать, используя только предыдущие предложения, постулаты и аксиомы.