Пример. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов:

Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов:

а ₁= {2, 0, 1, 1}, а ₂= {1, 2, 0, 1}, а ₃= {0, 1, -2, 0}.

Р е ш е н и е. Полагаем b ₁ = a ₁. Затем строим векторы b ₂ и b ₃.

b ₂ = a ₂ – b ₁ = {1, 2, 0, 1} – · {2, 0, 1, 1} = {1, 2, 0, 1} – · {2, 0, 1, 1} =

= {0, 2, – , };

b ₃ = a ₃ – b ₁ – b ₂ = {0, 1, -2, 0} – · {2, 0, 1, 1} –

– · {0, 2, – , } = {0, 1, -2, 0} – (– ) · {2, 0, 1, 1} – · {0, 2, – , } =

= {0, 1, -2, 0} + { , 0, , } – {0, , – , } = { , – , – , 0}.

Т.о., векторы b ₁ = {2, 0, 1, 1}, b ₂ = {0, 2, – , }, b ₃ = { , – , – , 0} являются результатом ортогонализации исходной системы векторов.

Задания. 1. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов:

1. {0, 1, 1}, {1, 1, 1}, {-3, 3, 1}.

2. {1, -1, 1}, {2, 1, 2}, {3, 1, 1}.

3. {1, -2, 1}, {0, 1, -4}, {2, -3, -2}, {7, 4, 1}.

4. {-1, 1, 1, 1}, {0, 2, 1, 1}, {1, 1, 1, 3}.

2. Преобразовать систему векторов

{1, -1, 1, 1}, {-1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, -1} в ортонормированную.