Пример. 1.1.Разложение вектора по системе векторов

СИСТЕМА ВЕКТОРОВ

1.1. Разложение вектора по системе векторов

Вектор k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n называется линейной комбинацией векторов

a ₁, a ₂, …, a _n с коэффициентами k ₁, k ₂, …, k_n.

Вектор bлинейно выражается через векторы a ₁, a ₂, …, a _n, если

b = k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n.

В этом случае говорят также, что bразлагается по векторам a ₁, a ₂, …, a _n. Каждый

n -мерный вектор b = { b ₁, b ₂, …, b_n } однозначно разлагается по диагональной системе

e ₁ = {1, 0, …, 0},

e ₂ = {0, 1, …, 0},

..............

e _n = {0, 0, …, 1}

с коэффициентами, которые равны координатам вектора b:

b = b ₁ e ₁ + b ₂ e ₂ + … + b_n e _n.

Чтобы найти разложение вектора b по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _n достаточно найти какое-нибудь решение системы уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _n x_n = b.

Пример.

Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _n:

b = { 2, 7, 17, 0 }, a ₁ = { 2, 4, 3, 0 }, a ₂ = { –3, 0, 1, 3 }, a ₃ = { 1, –1, 10, –3 }.

Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + a ₃ x ₃ = b

методом Гаусса. Для этого запишем эту систему по координатам:

Расширенная матрица системы

~ ~

~ ~ ~ .

Разрешенная система имеет вид: (r_A = r_A|B = 3, n = 3). Система определена: х ₃ = 1, х ₂ = 1, х ₃ = 2.

Следовательно, b = 2 a ₁ + a ₂ + a ₃.

Задания. Выяснить, разлагается ли вектор b по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _n:

1. b = { 2, 2, 3, 3 }, a ₁ = { 1, 2, 3, 1 }, a ₂ = { 2, 1, 2, 3 }, a ₃ = { 3, 2, 4, 4 }.

2. b = { 4, 1, 3, 1 }, a ₁ = { 2, 0, 1, 1 }, a ₂ = { 1, 1, 2, -2 }, a ₃ = { 2, 1, 3, -3 }.

3. b = { -1, 1, 3, 1 }, a ₁ = { 1, 2, 1, 1 }, a ₂ = { 1, 1, 1, 2 }, a ₃ = { -3, -2, 1, -3 }.

4. b = { 1, 0, 0, 1 }, a ₁ = { 2, 1, 1, 3 }, a ₂ = { 3, 0, -1, 2 }, a ₃ = { 1, -1, 0, 1 },

a ₄ = { 1, 0, -2, -1 }.

1.2. Линейная зависимость

Система векторов a ₁, a ₂, …, a _n называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа k ₁, k ₂, …, k_n, не все равные нулю, что

k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n = Θ, где Θ = {0, 0, …, 0}.

Система векторов a ₁, a ₂, …, a _n называется линейно независимой, если из каждого соотношения вида k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + … + k_n a _n = Θ следует

k ₁ = k ₂ = … = k_n = 0.

Система векторов л и н е й н о з а в и с и м а тогда и только тогда, когда система уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _n x_n = Θ

имеет ненулевое решение. Система векторов л и н е й н о н е з а в и с и м а тогда и только тогда, когда система уравнений a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _n x_n = Θ имеет только нулевое решение.

Вектор b разлагается по линейно независимой системе a ₁, a ₂, …, a _n тогда и только тогда, когда a ₁, a ₂, …, a _n, b – линейно зависимая система векторов.

Система векторов л и н е й н о з а в и с и м а, если количество координат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.

Если каждый вектор системы b ₁, b ₂, …, b _n разлагается по векторам a ₁, a ₂, …, a _m и n > m, то b ₁, b ₂, …, b _n – линейно зависимая система векторов.