Системы линейных уравнений. Формулы Крамера решения систем линейных уравнений. Пример

Еще одним популярным методом решения системы линейных алгебраических уравнений является метод Крамера. Крамера, используя следующие формулы: для вычисления корней уравнений x_i (i=1,n)

x_i=Δⁱ_n/Δ_n (i=1,n),

где Δ_n=det A, а Δⁱ_n являются определителями n-го порядка, которые получаются из Δ_n путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Что бы закрепить теоретический материал, обратимся к практике, решим систему из трех уравнений методом Крамера.

76x₁-7x₂-6x₃=-5

10x₁+12x₂-7x₃=11

-16x₁+10.5x₂-13x₃=-10

Определим совместность системы линейных уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы

A=	-7 -6     -7 -16 10.5 -13

и ранг расширенной матрицы

B=	-7 -6 -5     -7   -16 10.5 -13 -10

были равны.
Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.

Согласно вышеприведенной формуле для метода Крамера, необходимо найти главный определитель и он будет равен

Δ=

-7 -6     -7 -16 10.5 -13

=-9746

Для вычисления X₁ найдем первый определитель, для чего заменим первый столбец столбцом свободных членов.

Δ1=

-5 -7 -6     -7 -10 10.5 -13

=-2491.5

Точно как же как и для X₁ найдем определитель, для вычисления X₂

Δ2=

-5 -6     -7 -16 -10 -13

=-17854

Проделаем аналогичную операцию для вычисления следующего определителя для X₃

Δ3=

-7 -5       -16 10.5 -10

=-18851

В результате осталось разделить нужные определители на главный, в итоге получим:

X₁=Δ₁/Δ?0.256
X₂=Δ₂/Δ?1.832
X₃=Δ₃/Δ?1.934