Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент или метод, который обеспечивает наименьшее рассеивание результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально. По независимым выборкам объемов и ,извлеченным из этих совокупностей, определены статистические оценки дисперсий и :

.

Требуется по этим дисперсиям при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой.

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие вычисленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности, случайным отбором объектов выборки. Например, если различие вычисленных дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.

Если нулевая гипотеза будет отвергнута, т.е. генеральные дисперсии окажутся неодинаковыми, то различие вычисленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны. Например, если различие вычисленных дисперсий результатов измерений, произведенных двумя приборами, оказалось значимым, то точность приборов различна.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы, при этом рассматривают два случая.

1. Нулевая гипотеза .

Конкурирующая гипотеза .

Вычисляется наблюдаемое значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей):

. (1)

По таблице критических точек распределения Фишера (Приложение 1) по заданному уровню значимости и числам степеней свободы , ( – число степеней свободы большей дисперсии) определяют критическую точку .

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если , нулевую гипотезу отвергают.

2. Нулевая гипотеза

Конкурирующая гипотеза

Вычисляется наблюдаемое значение критерия по формуле (1).

Критическую точку определяют по уровню значимости (т.к. критическая область двусторонняя).

Если , оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет. Если , нулевую гипотезу отвергают.

Для измерения значимости рассматриваемого критерия (например, ) при отклонении нулевой гипотезы используется вероятность значимости , которая определяет вероятность принадлежности критерия множеству области значимости в предположении, что верна нулевая гипотеза . В этом случае выборка согласуется с нулевой гипотезой , когда вероятность значимости в определенном смысле велика, и не согласуется, когда эта вероятность мала.

Чем меньше значение , тем сильнее это свидетельствует против гипотезы . С помощью вероятности значимости измеряют так называемую степень недоверия к основной гипотезе . Она представляет собой дополнительную к вероятности значимости величину

.

Близкая к нулю вероятность значимости интерпретируется как близость степени недоверия к единице, т.е. как очень сильный довод против гипотезы . Близкая же к единице вероятность значимости показывает, что степень недоверия близка к нулю, т.е. доводы против слабы, что фактически указывает на согласие выборки с гипотезой .

Вероятность значимости для первого случая проверки гипотезы определяется как , для второго случая с использованием таблиц критических точек распределения Фишера.

Пример 4. Имеются две независимые выборки из генеральных совокупностей Х и Y.

X	6,63	6,64	4,56	9,73	11,56	14,99	14,77	6,33	4,61	5,73
Y	5,05	5,84	5,74	6,44	7,09	9,82	9,11	7,50	2,89	6,55

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе .