Ковариационный анализ

Для однозначного определения системы двух случайных величин, кроме статистических оценок математического ожидания и дисперсии, необходимо уметь определять статистическую оценку ковариации.

Предположим, что в результате n испытаний система двух случайных величин приняла следующие значения: . Статистическую оценку ковариации определяют по формуле

,

где .

Ковариация характеризует рассеивание случайных величин Х и Y и взаимную зависимость этих случайных величин. Ковариация имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин.

Если рассматривается не двумерная, а многомерная выборка то по результатам ковариационного анализа строится ковариационная матрица вида

,

которая является симметричной относительно главной диагонали, так как .

В пакете Анализ данных инструмент Ковариация (рис. 2) используется для вычисления среднего произведения отклонений точек данных от относительных средних. Ковариация является мерой связи между двумя диапазонами данных.

Ковариационный анализ дает возможность установить, ассоциированы ли наборы данных по величине, т.е. большие значения из одного набора данных связаны с большими значениями другого набора (положительная ковариация), или, наоборот, малые значения одного набора связаны с большими значениями другого (отрицательная ковариация), или данные двух диапазонов никак не связаны (ковариация близка к нулю).

Пример 2. С целью анализа взаимосвязи между прочностью бетона , активностью цемента и влажностью W мелкого заполнителя была отобрана группа из десяти экспериментальных значений, зафиксированных в процессе производства товарного бетона (табл. 1). Установить взаимную зависимость этих показателей.

Таблица 1.

№ опыта	Прочность бетона , МПа	Активность цемента , МПа	Влажность песка W, %
	27,5	42,5	4,6
	26,3	41,3	4,5
	28,1	43,7	5,1
	27,7	42,8	5,0
	25,8	41,2	6,2
	27,4	43,3	5,0
	29,2	44,4	4,1
	28,8	43,5	3,4
	27,0	41,9	3,3
	27,3	42,9	3,7

Решение

Алгоритм действий следующий:

1. Подготовка листа рабочей книги MS Excel для вычислений. Переменные задачи находятся в ячейках В2 и D11;

2. Сервис | Анализ данных | Ковариация | ОК;

3. Входной интервал | B2:D11;

4. Выходной интервал | А13;

5. ОК.

Excel представит результаты, показанные на рис. 2, где ; ; ; ; ; .