Релятивистские симметрии пространства-времени

2.5.1. Инвариантность "интервала, принцип причинности и ограниченность возможных скоростей движения

Появление теории относительности вызвало у многих — не только обывателей, но и ученых — ощущение психологической катастрофы. Казалось, что привычный, определенный, абсолютный ньютонов­ский мир распался, а ему на смену пришел релятивистский мир, где все относительно, где нет ничего твердого и неизменного.

74 Глава 2. Симметрия природы

2.5. Релятивистские симметрии пространства-времени 75

На самом деле все совсем наоборот. В теории относительности мир! предстает более симметричным, а инвариантов, т. е. величин, не зави-j сящих от выбора системы отсчета, в ней больше, чем в классической! механике. Самый очевидный пример — скорость света: из какой бы| системы отсчета ее ни измерять, неизменно получается 300000 км/с.

Другой важнейший инвариант — интервал между двумя собы-тиями:

где / — расстояние между точками, в которых произошли события, t — промежуток времени между ними, с — скорость света. В зависи­мости от выбранной системы отсчета / и t по отдельности могут быть разными, но комбинация, в которой они входят в интервал, имеет од­но и то же значение во всех системах отсчета.

Интервал между событиями называется времениподобным, если он положителен: s² > 0. Если события разделены времениподобным интервалом, то найдется такая система отсчета, в которой они про­изошли в одной точке (/ = 0). Очевидно, такие события могут быть причинно связаны, т. е. одно из них может быть причиной другого. Примером может служить рождение деда, а спустя 50 лет — рожде­ние его внука в том же городе.

Можно доказать, что причинно связанные события во всех систе­мах отсчета происходят в одной и той же последовательности.

Пусть, например, событие А (рождение деда) происходит раньше события В (рождение внука), отделенного от него времениподобным интервалом. Предположим, что найдется такая система отсчета, в ко­торой их порядок будет обратным: внук родился раньше деда. Тогда тем более должна найтись система, в которой они будут происходить одновременно, т. е. t = 0. Но в такой системе интервал между собы­тиями должен был бы стать отрицательным, что невозможно в силу инвариантности интервала. Следовательно, сделанное предположе­ние неверно, и дед во всех системах отсчета должен рождаться рань­ше, чем внук. Это обеспечивает согласие теории относительности с принципом причинности:

Jt каждое событие имеет предшествующую ему причину.

Если интервал отрицателен, он называется пространственнопо-добным. В этом случае найдется такая система отсчета, в которой события произошли одновременно (t = 0). Примером событий, раз­деленных пространственноподобным интервалом, могут служить на­блюдения майором Михайловым и полковником Петровым вспыш-

ки лампы на судейском столике (п. 2.3.2.1). Такие события могут происходить в произвольной последовательности, определяемой тем или иным выбором системы отсчета, и, следовательно, не могут быть причинно связаны.

Из определения интервала следует, что он пространственноподо-бен (отрицателен) при условии, что расстояние / между событиями больше расстояния ct, которое успевает преодолеть свет за промежу­ток времени, прошедший между ними. Почему причинная связь в этом случае отсутствует, становится очевидным, если предположить, что скорость света — максимально возможная скорость движения материальных тел и передачи сигналов.

Тогда за время между событиями, разделенными пространственно-подобным интервалом, вообще никакое воздействие не успеет преодо­леть разделяющее их расстояние, чтобы обеспечить причинную связь.

Таким образом, из инвариантности интервала и принципа при­чинности следует ограниченность возможных скоростей движения скоростью света. Допущение о возможности сверхсветовых скоро­стей, столь популярное у фантастов и некоторых псевдоученых, тре­бует отказаться от принципа причинности и согласиться с возможно­стью событий, причины которых еще не возникли, например рожде­ния внука, чей дед еще не появился на свет.

2.5.2. Преобразования Лоренца

Согласно теории относительности, каждый наблюдатель имеет свои собственные представления об одновременности событий, расстоя­ниях, промежутках времени... Не означает ли это распада единой Вселенной на множество вселенных — по одной для каждого наблю­дателя? Нет, не означает, поскольку существует способ по результа­там измерений в одной системе отсчета вычислить их значения в лю­бой другой системе. Пусть, например, с нашей точки зрения, некое событие произошло в момент t в точке с координатой х. Тогда для на­блюдателя, движущегося относительно нас со скоростью v, это собы­тие произошло в момент в точке с координатой

где р — уже знакомый нам коэффициент релятивистского сокраще­ния длины и замедления времени (с. 72). Эти формулы известны как

76 Глава 2. Симметрия природы

2.5. Релятивистские симметрии пространства-времени 77

Нон.1Ч нория

преобразования Лоренца, поскольку впервые они появились в его ра ботах, хотя правильным их истолкованием мы обязаны Эйнштейну.

2.5.3. Принцип соответствия

Если скорость v мала по сравнению со скоростью света с, то релятивистский коэффициент Р почти не отличается от единицы, и преобразования Лоренца переходят в старые добрые преобразования Галилея: t'=t (время течет одинаково для всех) и х' = х - vt (одна из форм привычного закона сложения скоростей). Это — хорошая иллюстрация принципа соответствия:

Г

в пределах области применимости старой теории новая теория должна давать те же результаты.

Дело в том, что в отличие от религиозных учений, претендующих
на знание абсолютной и всеобъемлющей истины, любая научная тео-
рия гарантирует правильные и точные предсказания лишь в преде-
лах ограниченной области своей применимости. |

Во время формирования научной теории границы ее области при-| менимости, как правило, неясны. Действительно, теория будет при-| нята научным сообществом лишь в том случае, если согласуется с\ фактами. Другими словами, она должна быть такова, чтобы все из-] вестные на данный момент факты попадали в область ее применимости. Но границы этой области можно выяснить, только зная факты, лежащие за ее пределами. Точно так же размеры и форму материка можно установить, только дойдя до его берега, где заканчивается су­ша и начинается вода.

С течением времени факты накапливаются, и среди них появля­ются те, которые не согласуются с предсказаниями старой теории (п. 1.7.4). Именно такие факты и обозначают, «провешивают» преде­лы области ее применимости. Но они тоже подлежат объяснению — и на смену старой приходит новая теория. Поскольку отменить фак­ты невозможно, новая теория должна давать объяснение и вновь от­крытым, и давно известным фактам, а для этого область ее примени­мости должна включать в себя область применимости старой теории и, кроме того, область, где старая теория уже неприменима.

Классическая ньютоновская механика перестает быть примени­мой при скоростях движения, сравнимых со скоростью света, а тео­рия относительности расширяет ее на случай произвольных скоро­стей движения. Классическая механика оказывается неприменимой в сильных полях тяготения - там надо пользоваться общей теорией

• Факты, объясняемые как новой, так и старой теориями Т Факты, объясняемые только новой теорией

Рис. 2.5. Принцип соответствия: соотношение между новой и старой научными теориями

относительности (п. 2.6). Классическая механика пасует перед описа­нием явлений микромира — это царство квантовой механики (п. 3.5). Однако с описанием движения макроскопических тел с небольшими скоростями в слабых гравитационных полях классическая механика справляется и сейчас ничуть не хуже, чем во времена Ньютона, и не зря будущие инженеры изучают ее столь подробно.

Благодаря действию принципа соответствия, развитие науки предстает не как история смены одной неправильной теории другой, также неправильной, а как процесс непрерывного расширения круга знаний, подобный расширению и уточнению географических пред­ставлений по мере открытия новых стран и морей.

2.5.4. Не пространство и время, а пространство-время

Преобразования Лоренца для времени и для координаты очень похо­жи друг на друга. Математически этот факт выразил Г. Минковский, предложивший рассматривать трехмерное пространство и одномер­ное время как единое четырехмерное пространство-время. «Единое» означает, что координатная ось, по которой отсчитывается время t (точнее, произведение ct, имеющее размерность длины), равноправна с осями, по которым откладываются координаты х, у и z. Минков­ский показал, что в таком пространстве-времени преобразования Ло­ренца описывают просто поворот координатных осей. Иными словами, переход от одной системы отсчета к другой эквивалентен изменению «направления взгляда» в пространстве-времени, а парадоксальное

78 Глава 2. Симметрия природы

2.6. Обшая теория относительности: основные положения 79

сокращение длины и замедление времени не более загадочны, чем изменение вида здания при обходе вокруг него.

Концепция единого пространства-времени оказалась чрезвычай­но плодотворной. В ее рамках стали очевидными многие глубокие i взаимосвязи в природе, которые до того требовали изощренных до­казательств. Например, в четырехмерном пространстве-времени ока­зывается практически неизбежной единая природа электрических и магнитных явлений.

2.5.5. Эквивалентность массы и энергии: соотношение Эйнштейна

На свойства пространства-времени как единого целого опирается знаменитое соотношение Эйнштейна, выражающее эквивалентность массы и энергии:

Е = тс².

Иногда говорят, что формула Эйнштейна описывает превращение массы в энергию. На самом же деле она устанавливает, что масса и есть энергия.

Если тело обладает массой т, то тем самым оно обладает энергией Е = тс², которую можно полностью или частично превратить в дру­гие формы энергии. Такое превращение происходит, например, в лю­бой химической реакции: масса продуктов реакции отличается от массы исходных реагентов на величину, пропорциональную выделив­шейся или поглощенной тепловой энергии. Коэффициент пропор­циональности, правда, очень мал (1/с² ~ 0,00000000000000001 с²/м²), так что изменение массы в химических реакциях ничтожно. Поэто­му Ломоносов и Лавуазье, установившие закон сохранения массы, были все-таки правы — в пределах точности тогдашних измеритель­ных приборов. А вот в реакциях деления атомных ядер или особенно в реакциях термоядерного синтеза (с. 212), идущих с очень большим энерговыделением, изменение массы может достигать 1%.

Верно и обратное: если энергия тела увеличилась на Е, то тем са­мым его масса увеличилась на (т = Е/с²)¹. Например, с ростом скоро-

' В своих высказываниях Эйнштейн неоднократно подчеркивал этот смысл своего знаменитого соотношения: «Масса тела есть мера содержащейся в нем энергии» (сентябрь 1905 г.); «Закон сохранения массы является частным случаем закона со­хранения энергии» (май 1906 г.); «Масса [т] эквивалентна в смысле инерции коли­честву энергии тс²» (1907 г.) (Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйн­штейна. М.: Наука, 1989. С. 143-144).

сти тела растет его кинетическая энергия. Одновременно увеличи­вается масса тела — в р раз! Когда скорость тела приближается к ско­рости света, его масса становится бесконечно большой, что означает невозможность дальнейшего разгона. Со скоростью света могут дви­гаться только частицы, масса покоя которых равна нулю.