Критерий Вилкоксона

Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности двух независимых выборок: х₁, х₂, …, и у₁, у₂, …, Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к случайным величинам, распределения которых неизвестны.

Нулевая гипотеза Н₀: при всех значениях аргумента функции распределения равны между собой, т.е.

Конкурирующими являются следующие гипотезы: гипотеза Н₁: гипотеза Н₂: гипотеза Н₃:

а) Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем обеих выборок не превосходит 25.

Правило 1. Конкурирующая гипотеза Н₁: .

1) Надо расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке, т.е. в виде одного вариационного ряда, и найти в этом ряду наблюдаемое значение критерия - сумму порядковых номеров вариант первой выборки.

2) Найти по таблице нижнюю критическую точку где

3)Найти верхнюю критическую точку по формуле

Если или - нулевую гипотезу отвергают.

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Правило 2. Конкурирующая гипотеза Н₃:

Надо найти q=α.

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. Конкурирующая гипотеза Н₂:

Надо найти верхнюю критическую точку:

=

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. Если несколько вариант только одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду им приписывают обычные порядковые номера.

Замечание 2. Если совпадают варианты различных выборок, то им приписывают один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти варианты до совпадения.

б) Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем хотя бы одной из выборок превосходит 25.

Правило 1. Конкурирующая гипотеза: Н₁: .

Находят нижнюю критическую точку

(4.2)

где [ ] – целая часть числа; q=α/2; z_кр находят по таблице функции Лапласа из равенства Ф( В остальном сохраняются условия правила 1 из пункта а).

Правило 2. Конкурирующие гипотезы Н₃: и Н₂:

Находят нижнюю критическую точку по формуле (4.2.), положив q=α и z_кр находят из равенства Ф(

В остальном правила 2-3, приведенные в пункте а) сохраняются.

Пример 1. При уровне значимости α=0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов n₁=6 и n₂=8:

x_i: 15 23 25 26 28 29

y_i: 12 14 18 20 22 24 27 30

Конкурирующая гипотеза Н₁: .

Решение. Составим таблицу:

порядковый номер

варианты

=3+7+9+10+12+13=54;

q=α/2=0,05/2=0,025; n₁=6, n₂=8.

=29; =(6+8+1)·6 – 29=61.

Итак, 29 < 54 < 61, следовательно, нет оснований отвергать нулевую гипотезу об однородности выборок.

Пример 2. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов n₁=30 и n₂=50 при конкурирующей гипотезе Н₁: , если известно, что =1600.

Решение. Найдем z_кр; Ф( z_кр =2,58;

=81·30 – 954 = 1476.

Так как 1600 > 1476 () – нулевая гипотеза отвергается.