Характер фундаментальной матрицы Ф(t)

1. Система однородных диф.ур. записывается как:

2. Решение системы имеет вид:

3. Сделаем подстановку (2) в (1). Для этого производим диф-ние (2):

В результате получаем:

Выражение (3) сокращаем на . В результате получаем выражение (4):

Ф(t) – это такая матрица, производная которой по времени = произведению матрицы кэфов А на Ф(t).

Аналогичными св-ом обладает ф-я:

При подстановке (6) в ур-е (1) получим:

20) Метод Лагранжа для Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений

Неоднородная система линейных дифф. уравнений с постоянным коэффициентом имеет вид:

(1)

- мат-столбец искомых функций

- матрица коэффициент

- мат столбец правой части системы

Решение неод. сист. состоих из суммы двух решений

- общего решения однородной системы

- частного решения решается за счет правой части

методы нахождения частного решения сист. фид. уравнения

1) Метод Лангажа (трудоемкий) «произв. коэф»

2) Метод «неопред. коэф»

реш. сист 1 имеет вид

(2)

- реш системы

- фундам. матрица решений однород системы

- надо найти

Производим подстан. решения 2 в решение 1

1) расчит. первую производную

(3)

2) Делаем подстановку 3 и 2 в 1

(4)

3) Правую и левую части сокращаем. Делим правую и левую на

: (5)

4) Ищем услов. при t=0 из уравн 2

получаем (6)

5) Интегрируя

(7)

6) Делаем подстановку 6 в решение 2

(8)

В итоге получаем решение неод. сист. дифф. уравнений

(9)

Формула Коши

Это решение рассм. как сумму решений системы однород уравнений и частоного решения неоднород системы

Решение неоднород делится на решение однородной и частной.

22) Элементы вектора G(t) представлены в виде произведения полиномов степени на гармонические ф-ии:

Частное решение в этом случае отыскивается в виде: , (2)

Где , – полином степени (z+s) с неизвестными кэфмаи; z=max(), (k=1,2,…,n) – максимальная степень полинома .Величина s находится из след. условий:а) s=0, если () не явл. корнем характеристического ур. однородной системы;

б) s=k (k – кратность корня), если () явл. корнем характеристического ур. однородной системы.Неизвестные кэфы полиномов определяются путём подстановки выражения (1) в систему диф ур и приравниванием кэфов при подобных членах ур-й.

23) Единственное деление

1) Метод единственного деления;

а) выбираем не нулевой элемент

б) из каждой строки вычитаем ведущую умноженную на первый эл второй

в) разлагая опред. по эл. ведущей строки(ст) получ. произв. высш. множителя на опред (n-1) продяка эл которого наход по формуле

24) Вандермонд

1) Вывод формулы вычисления определителя Вандермонда;

=>

a) вычтем из каждого столбца предыдущий умноженный на а1

б) разложим по элементам первой строки

в) вынесем общие множители за знак определителя

г) вычтем из каждого столбца начиная со второго предыдущий умноженный на а2

в) получили определитель того же вида но на порядок меньше

д) повторяем расчеты и получаем рекуррентную формулу

е) 1*(а2-а1)(а3-а1)(а3-а2) - формула