![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Согласно методу Эйлера общее решение системы (1) ищется в виде
X=h*eλ*1 (1)
Где h – вектор – столбец произвольных постоянных (причем, хотя бы один из его элементов должен
λ – число
Значение h и λ необходимо определить в процессе расчета
1. Подставляем решение (1) в систему дифференциального уравнения
dx/dt= A*x
Для этого продифференцируем (1):
d/dt * (h*eλt)
после подстановки имеем:
λ*h*eλt=A*h*eλt
и сокращая на eλt (не равное нулю) =>
λ*h=A*h
2. Выносим за скобки вектор h, предварительно перенеся все члены в левую часть равенства.
Для вынесения за скобки вектор λh необходимо умножить на Е.
После подстановки решения (1) в систему дифференциальных уравнений получаем:
(λ*E-A)*h=0 (2)
3. Чтобы алгебраическая система (2) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно чтобы ее определитель равнялся нулю, (см. решение однородных алгебраических систем) то есть Х являлась корнем уравнения.
det(λ*E-A)=0 (3)
Рассчитывая определитель, получаем уравнение, которое называется характеристическим уравнением:
∆(λ)=λn+b1*λn-1+…+bn-1*λ+bn=0 (4)
Корни, полученные при решении уравнения (4) называются характеристическими числами системы, собственным значением матрицы А.
Вектор h называется собственным вектором матрицы А, соответствующего должному λ.
При решении характеристического уравнения (4) возможны случаи получения корней
1. Корни вещественные и различные.
2. Корни вещественные кратные.
3. Корни комплексные.
Порядок решения системы дифференциальных уравнений (хз надо или нет)
1. Записываем матрицу коэффициентов системы дифференциальных уравнений.
2. Составляем характеристическое уравнение системы.
det(A-λ*E)=0
3. Находим характеристические числа системы (корни характеристического уравнения)
4. В зависимости от вида корней ищем решения системы.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 219 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!