Определение канонической системы диф-х ур-й

Системой диф ур-й называется

Эту систему можно выразить относительно старшей производной

Такая система называется канонической

Каноническая – если система решена относительно старшей производной

3) Совокупность функций: x₁(t),…,x_n(t) (1)

определенных и дифференцируемых на интервале (а, b), называется решением системы (2.1) на интервале (a,b), если они обращают уравнения (2.1) в тождества, справедливые при всех значениях t из интервала (a,b). Графической интерпретацией полученного решения будет поверхность в (n+1) -мерном пространстве (t, x₁(t),…,x_n(t)), называемая интегральной.

Задача нахождения решения x₁(t),…,x_n(t), удовлетворяющего начальным условиям x₁₀(t),…,x_n0(t) при t=t₀ называется задачей Коши.

Решение (2.2), в каждой точке которого имеет место существование и единственность решения задачи Коши, называется частным решением.

5) Статическая характеристика элементов АСР- зависимость выходного сигнала элемента от входного сигнала в установившемся состоянии.

По статич-ой харак-ке:
- можно судить о линейности элемента

-по величине входа найти значение выхода

-вычислить коэффициент передачи элемента

8) В большинстве случаев поведения элементов описываются нелинейными уравнениями. Для упрощения их решения нелинейные уравнения приближенно заменяют линейными. Такая операция называется линеаризацией.

Математически этот процесс можно описать разложением функции в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия и отображением всех членов, содержащих отклонение входной величины, в степени выше первой:

9.Составить дифференциальное уравнение бака со свободным сливом и провести его линеаризацию:

Q₁,Q₂- объемные расходы на притоке и стоке бака;h-высота уровня воды;s-площадь зеркала воды.

Решение:

Из условия материального баланса следует:

S*∆h=(Q₁(t)-Q₂(t))*∆t ₍₁₎

Преобразуем(1):

∆h/∆t=1/s(Q₁(t)-Q₂(t))₍₂₎

Устремив ∆t→0,получаем дифференциальное уравнение, описывающие состояние объекта управления:

dh/dt=1/s(Q₁(t)-Q₂(t))₍₃₎

ПустьQ₁-const

Q₂(t)=α√h ₍₄₎

α-коэффициент расхода

Тогда(3) преобразуется:

dh/dt=1/s(Q₁(t)-α√h) ₍₅₎

Уравнение (5) нелинейное дифференциальное уравнение, т.к. неизвестная h входит под знак корня.

Проведем его линеаризацию. Пусть отклонение уровня от равновесного состояния мало:

∆h=h-h₀

Разложим в ряд Тейлора нелинейного функцию и ограничимся первыми двумя членами ряда:

√h=√h₀+1/2√h₀*∆h+…. ₍₆₎

С учетом (4) выражение (6) преобразуется

√h=√h₀+1/2√h₀*∆h+…=Q₀₂/α+1/2√h₀*∆h ₍₇₎

Q₀₂-расход на стоке когда уровень h₀

Тогда уравнение (5) преобразуется:

d∆h/dt=1/s(Q₁(t)-Q₀₂/α*α-α/2√h₀*∆h)

d∆h/dt+α/2s√h₀*∆h=1/s(Q₁-Q₀₂)

т.е после операции линеаризации мы получили линейное дифференциальное уравнение.