Решение уравнения методом деления отрезка пополам (бисекций)

Существуют различные методы решения уравнения f(x) = 0. Из простых методов назовем метод Ньютона, метод хорд и метод деления пополам. Последние два метода характеризуются медленной сходимостью, но реализация их проста.

Для этих двух методов существенно, чтобы функция была непрерывна и ограничена в заданном интервале [ a, b ], внутри которого ищется корень. Предполагается также, что f (a) и f (b) имеют разные знаки.

Рассмотрим подробнее один из этих методов, а именно метод деления пополам, так как по сравнению с методом хорд данный метод характеризуется большей сходимостью. Этот метод состоит в выполнении итераций, начиная с отрезка [ a, b ] на оси абсцисс на котором функция меняет знак, т.е. имеется точка пересечения графика функции с осью х (рисунок 1).

При заданной точности e метод состоит из таких шагов:

1. Вычислить f (a) и f (b).

2. Положить c = (a + b)/2 и вычислить f (с).

3. Если f (с) = 0, то принять в качестве решения значение с, вывести его и прекратить вычисления, иначе перейти к шагу 4.

4. Если f (c) и f (a) имеют одинаковые знаки, то заменить a на c.

5. Если f (c) и f (b) имеют одинаковые знаки, то заменить b на c.

6. Если | b - a | £ e (e - заданная погрешность вычислений), то принять в качестве решения последнее значение с, вывести егоипрекратить вычисления, в противном случае перейти к шагу 2.

Для определения значения конца отрезка b, на котором функция меняет знак, при заданном значении начала отрезка а используют следующий итерационный алгоритм:

1) Задают начальное значение х = a + h. Здесь h – это заданный шаг изменения х.

2) Вычислить значения f (a) и f (x).

Если f (a) и f (x) имеют разные знаки, то принять b = x и прекратить вычисления, иначе принять x = x + h и перейти к шагу 2.