Упрощение кривых 2-го порядка

Известно общее уравнение кривой 2-го порядка a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+a₁₃x+a₂₃y+a₃₃=0

Известны виды возможных кривых, если кривые заданы каноническими уравнениями. Рассмотрим более общий случай уравнения a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+a₁₃x+a₂₃y+a₃₃=0

Пусть a₁₂=0. Тогда в общем уравнении отсутствует произведение текущих координат. Можно выделить полные квадраты по переменным. Тогда уравнение примет несколько модифицированный вид, но близкий к каноническому. Построить кривую будет возможно, если использовать известный принцип сдвига кривой вдоль осей координат.

Если же a₁₂ не равен нулю, тогда механизм упрощения уравнения кривой несколько усложняется и может быть выполнен в такой последовательности.

1-й шаг – по виду старших слагаемых выписываем матрицу квадратичной формы переменных (см. раздел 1.12);

2-й шаг – составляем и решаем характеристическое уравнение для поиска собственных значений матрицы квадратичной формы; собственные значения всегда действительные числа и они укажут нам ти кривой второго порядка (см. раздел 1.11); при этом квадратичная форма принимает канонический вид – в ней не будет произведения текущих координат; следует заметить, что порядок собственных значений не влияет на тип кривой;

3-й шаг – для известных собственных значаний находим собственные векторы; нормируем их и получаем новый ортонормированный базис и матрицу поворота плоскости для перехода к новому базису(см. раздел 1.9);

4-й шаг – строим старый декартов базис и в нем новый декартов базис из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы;

5-й шаг – выписываем формулы преобразования координат для перехода к новому базису и преобразуем с их помощью линейные слагаемые в уравнении кривой;

6-й шаг – теперь в уравнении кривой отсутствует произведение текущих новых координат и остается выделить полные квадраты по переменным и построить кривую в новой системе координат.